具有線性微分算子的分數(shù)階微分方程積分邊值問題

李萌萌,賈梅,蘇小鳳

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海　200093)

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具有線性微分算子的分數(shù)階微分方程積分邊值問題

李萌萌,賈梅,蘇小鳳

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海200093)

摘要：研究一類具有分數(shù)階線性微分算子的非線性微分方程積分邊值問題解的存在性與唯一性.利用Schauder不動點定理及壓縮映射原理,建立并證明了邊值問題解的存在性定理和唯一性定理,并給出兩個例子以說明所得結(jié)論.

關(guān)鍵詞：分數(shù)階線性微分算子;積分邊值問題; Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù);不動點定理

1　引言

由于分數(shù)階微積分在科學(xué)研究和工程技術(shù)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用,近年來分數(shù)階微分方程的理論研究取得了一系列研究成果[1-4]．邊值問題是微分方程理論研究的重要課題,許多學(xué)者對分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性與唯一性進行了大量研究[512].在對具有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)分數(shù)階微分方程邊值問題的研究中,較多是假設(shè)未知函數(shù)在左端點的值為零, 即x(0) = 0的情況,例如參考文獻[7-10].本文在文獻[7]基礎(chǔ)上,在不假設(shè)x(0) = 0情況下,利用Schauder不動點定理和壓縮映射原理,研究了如下一類具有分數(shù)階線性微分算子的非線性微分方程積分邊值問題:

的解的存在性及唯一性,其中

n為非負整數(shù), r∈R, Dα和Dβ均為標準的Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù), f : [0,1]×R→R滿足L1-Carathe′odory條件, gi∈C[0,1], i = 1,2.

函數(shù)f : [0,1]×R→R稱為滿足L1-Carathe′odory條件,如果

(1)對任意的x∈R,函數(shù)f(·,x) : [0,1]→R是可測的;

(2)對幾乎處處的t∈[0,1],函數(shù)f(t,·) : R→R是連續(xù)的;

(3)對任意γ＞0,存在?γ∈L1[0,1],使得當|x|≤γ時,對幾乎處處t∈[0,1] 有|f(t,tα?2x)|≤?γ(t).

2　預(yù)備知識

有關(guān)Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分定義可參見參考文獻[1-2].

引理2.1[2]設(shè)α＞0, 0≤γ＜1,γ≤α,則分數(shù)階積分算子Iα: C0γ[0,1]→C[0,1].

引理2.2[5]若α＞0, 0＜β＜1,β≤α, I1?βx(t)|t=0= 0, n為非負整數(shù),則

引理2.3對任意的h∈L1[0,1],邊值問題

在X中等價于下面的積分方程:

證明因為α?β?1＞0,所以根據(jù)引理2.1可得,對任意x∈X, I1?βx(t)|t=0= 0.

由引理2.2可以得到

其中c1,c2∈R.將邊界條件代入上式,解之得

因此,將c1和c2代入(2)式,可得

其中G(t,s), Hk(t,s),φ(t,s)即為上面形式.

由引理2.3、函數(shù)G(t,s)和Hk(t,s),k = 0,1,2,···,n的表達式易得下面引理2.4、引理2.5和引理2.6.

的解.

引理2.5函數(shù)G(t,s)滿足:

(1) G(t,s)∈C([0,1]×[0,1]),且對于任意t,s∈(0,1)有G(t,s)＞0;

(2)當t,s∈[0,1]時,

引理2.6對k = 0,1,2,···,n,函數(shù)Hk(t,s)滿足:

(1) Hk(t,s)∈C([0,1]×[0,1]);

(2)對于任意的t,s∈[0,1],有|Hk(t,s)|≤tα?1(1?s)α?β+k?1.

定義算子T : X→X,

引理2.7算子T : X→X是全連續(xù)的.

證明設(shè){xn}?X, x∈X,滿足當n→∞時, ||xn?x||→0,故存在γ1＞0,使得||xn||≤γ1, ||x||≤γ1,即對任意的t∈[0,1], |t2?αxn(t)|≤γ1, |t2?αx(t)|≤γ1,因此對幾乎處處s∈[0,1],有

并且存在?γ1∈L1[0,1],當s∈[0,1]時, |f(s,xn(s))| = |f(s,sα?2s2?αxn(s))|≤?γ1(s).

由Lebesgue控制收斂定理得

所以, ||Txn?Tx||→0, (n→∞),故T : X→X是連續(xù)算子.

設(shè)??X是任意一個有界集,則存在γ2＞0,使得當x∈?時,有||x||≤γ2,即存在?γ2∈L1[0,1],對任意的x∈?,有

所以T(?)是一致有界的.

另外,對任意的x∈?,因為Hk(t,s)∈C([0,1]×[0,1]), gi∈C[0,1], i = 1,2,所以t2?αφ(t,s)∈C([0,1]×[0,1]),故t2?αφ(t,s)一致連續(xù).又G(t,s)∈C([0,1]×[0,1]),故G(t,s)一致連續(xù).因此易得對任意的ε＞0,存在δ＞0,對任意的t1,t2∈[0,1],當|t1?t2|＜δ時,有所以T(?)是等度連續(xù)的,由Arzela-Ascoli定理知, T : X→X是相對緊的.

綜上可得T : X→X是全連續(xù)的.

3　解的存在性及唯一性

記

則有?≥0.

假設(shè): (H) 0≤?＜1.

(H1)存在非負函數(shù)p(t)∈L1[0,1], q(x)在R上連續(xù),使得|f(t,x)|≤p(t) + q(x),且

(H2)存在非負函數(shù)t2α?3a(t)∈L1[0,1], b(t)∈L1[0,1],常數(shù)σ＞0,使得對任意的t∈[0,1] 及x∈R,有|f(t,x)|≤a(t)|x|σ+ b(t).

(H3)存在函數(shù)l(t)＞0, t2α?3l(t)∈L1[0,1],使得當t∈[0,1], x1,x2∈R時,

定理3.1假設(shè)條件(H), (H1)成立,且A = 0,則邊值問題(1)在X中至少存在一個解.

證明取

由(H1)知,存在d1＞0,使得當|x|＞d1時,

取

則D為X中非空有界閉凸集.

對任意的x∈D,有||x||≤d0.因此當t∈(0,1]時,

故

所以T : D→D.

又由引理2.7知T全連續(xù),故由Schauder不動點定理, T在D中至少存在一個不動點,即邊值問題(1)在X中至少存在一個解.

由(H1)知,存在d1＞0,使得當|x|≥d1時, 0≤q(x)≤(A+ε)|x|.令對任意的x∈R,有0≤q(x)≤N + (A +ε)|x|.

取

令D = {x|x∈X,||x||≤d0},則D為X中非空有界閉凸集.

與定理3.1證明類似可證||Tx||≤d0,所以T : D→D.

又由引理2.7知T全連續(xù),故由Schauder不動點定理, T在D中至少存在一個不動點,即邊值問題(1)在X中至少存在一個解.

定理3.3假設(shè)條件(H), (H2)成立,且0＜σ＜1,則邊值問題(1)在X中至少存在一個解.

選取

令D = {x|x∈X,||x||≤r1},則D為X中非空有界閉凸集.?x∈D,有與定理3.1證明類似可證||Tx||≤r1,即T(D)?D.又由引理2.7知T全連續(xù),故由Schauder不動點定理, T在D中至少存在一個不動點,即邊值問題(1)在X中至少存在一個解.

定理3.4假設(shè)條件(H), (H2)成立,且

則邊值問題(1)在X中至少存在一個解.

證明取

則有r2＞0.

令D = {x|x∈X,||x||≤r2},則D為X中非空有界閉凸集.對任意的x∈D,易得||Tx||≤r2,即T(D)?D.又由引理2.7知T全連續(xù),故由Schauder不動點定理, T在D中至少存在一個不動點,即邊值問題(1)在X中至少存在一個解.

定理3.5假設(shè)條件(H3)成立,且

則邊值問題(1)在X中存在唯一的解.

證明對任意的x,y∈X, t∈[0,1],

所以,

由于

故T : X→X是壓縮映射,利用壓縮映射原理可得, T在X中有唯一不動點,即邊值問題(1) 在X中存在唯一的解.

4　應(yīng)用舉例

例4.1考慮邊值問題

例4.2考慮邊值問題

其中

且

故由定理3.5可得,邊值問題(4)存在唯一解.

參考文獻

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2010 MSC: 34B15, 26A33

The integral boundary value problem for fractional differential equations with linear differential operator

Li Mengmeng , Jia Mei , Su xiaofeng
(College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

Abstract:In this paper, we study the existence and uniqueness of solutions for a class of integral boundary value problem of differential equation with fractional linear differential operator. By using Schauder fixed point theorem and Banach contraction principle, the theorems of the existence and the uniqueness of solutions for the boundary value problem are obtained and proved. And we give two examples to illustrate the results.

Key words:fractional linear differential operator, integral boundary value problem, Riemann-Liouville fractional derivative,fixed point theorem

通訊作者：賈梅(1963-),碩士,副教授,研究方向:常微分方程理論與應(yīng)用.

作者簡介：李萌萌(1990-),碩士生,研究方向：常微分方程理論與應(yīng)用.

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11171220);滬江基金(B14005).

收稿日期：2015-08-31.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.011

中圖分類號：0175.8

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0075-09