漸近擬非擴張非自映射的收斂定理

沈德兄,郭偉平

(蘇州科技學院數理學院,江蘇蘇州　215009)

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漸近擬非擴張非自映射的收斂定理

沈德兄,郭偉平

(蘇州科技學院數理學院,江蘇蘇州215009)

摘要：在實線性賦范空間中引入了漸近擬非擴張非自映射概念.并在Banach空間中證明了漸近擬非擴張非自映射對的強收斂定理,所得結果推廣和改進了相關文獻的結論.

關鍵詞：實Banach空間;漸近擬非擴張映射;公共不動點;強收斂

1　引言及預備知識

設E是實線性賦范空間, C是E的非空子集,稱T : C→C是一致L-Lipschitzian映射[1],如果存在常數L＞0,使得

稱T : C→C是漸近非擴張映射[2],如果存在實數列

記F(T) = {x∈C : Tx = x}為T的不動點集.

稱T : C→C是漸近擬非擴張映射[3],若F(T) /=?且存在實數列

使得

由定義可知, T為漸近非擴張映射,則T必為一致L-Lipschitzian映射,當F(T) /=?時, T為漸近非擴張映射,則T為漸近擬非擴張映射,反之不成立.

2003年,文獻[4]引入了漸近非擴張非自映射的定義,其定義如下:

定義1.1[4]設E是實線性賦范空間, C是E的非空子集,設P : E→C是E到C上的非擴張收縮映射.非自映射T : C→E稱為漸近非擴張的,如果存在實數列

使得

非自映射T : C→E稱為一致L-Lipschitzian的,如果存在常數L＞0,使得

稱實Banach空間E的子集C為E上的收縮集[4],如果存在連續映射P : E→C使得對于任意x∈C有Px = x.一致凸Banach空間中的每個閉凸子集都為收縮集.稱映射P : E→E為收縮的,如果P2= P.換言之,如果P為可收縮的,則對于P的值域中的每個y都有Py = y.

引入新的定義如下:

定義1.2設E是實線性賦范空間, C是E的非空子集.設P : E→C是E到C上的非擴張收縮映射.非自映射T : C→E稱為漸近擬非擴張的,如果F(T) /=?且存在實數列

2007年,文獻[3]引入了迭代列{xn}如下:

設C是實Banach空間E中的非空凸子集, T,S : C→C是兩漸近擬非擴張映射,定義迭代列{xn}如下:

本文引入新的迭代列{xn},其定義如下:

設C是實Banach空間E中的非空凸子集, S,T : C→E為兩漸近擬非擴張非自映射,定義迭代列{xn}如下:

為證明主要定理,需以下引理及條件.

引理1.1[5]設{rn},{sn},{tn}是非負實數列,且滿足下列條件:

引理1.2[6]設E是實一致凸Banach空間, b,c是(0,1)上的兩個常數且b＜c.設{tn} 是[b,c]中的實數列, {xn},{yn}是E中序列且滿足如下條件:

證明?pn∈F(T)且‖pn?q‖→0,于是

故q∈F(T).因此F(T)為閉集.

設C為實Banach空間中的非空子集,稱兩非自映射S,T : C→E滿足條件:

(A′)如果存在非減函數f : [0,∞)→[0,∞)滿足f(0) = 0且對任意r∈(0,∞) 有f(r)＞0,使得?x∈C,有

引理1.3設C是實線性賦范空間E的非空閉子集, T : C→E是具有{kn}?[1,∞)且

2　主要結論

本節中,在實Banach空間中證明由(1.4)式定義的迭代列的強收斂定理.

引理2.1設C是實Banach空間E的非空閉凸子集,設S,T : C→E是分別具有

的漸近擬非擴張非自映射并且

設{xn}是由(1.4)式所定義的迭代列.其中是[0,1]上的六個實數列且滿足

{un},{vn}是C上的兩個有界序列.若則?p∈F,極限存在.

證明給定p∈F,由{un},{vn}的有界性知存在M＞0,使得

記kn= max{hn,ln},由(1.4)式知

且

將(2.1)式代入(2.2)式得到

引理2.2設C是實Banach空間E的非空閉凸子集, S,T : C→E分別有{hn}?[1,∞), {ln}?[1,∞)的漸近擬非擴張非自映射并且

設{xn}是由(1.4)式所定義的迭代列,其中是[0,1]上的六個實數列且

{un},{vn}是C上的兩個有界序列.若F = F(S)∩F(T) /=?,則存在R＞0,使得?p∈F, 有

其中,ωj= [cj+ bjc′jkj]M.

證明由引理2.1知

令αj= k2j?1,(j≥1),故由上式可得到

下面證明本文中主要定理.

定理2.1設C是實Banach空間E的非空閉凸子集, S,T : C→E分別有{hn}?[1,∞), {ln}?[1,∞)的漸近擬非擴張非自映射并且

設{xn}是由(1.4)定義的迭代列,其中是[0,1]上的六個實數列且滿足

{un},{vn}是C上的兩個有界序列.若F = F(S)∩F(T) /=?,則{xn}強收斂到S,T的公共不動點的充要條件是

證明設kn= max{hn,ln}.必要性是顯然的,只需證明充分性.設由引理2.1知

故d(xn+1,F)≤[1 + (k2n?1)]d(xn,F) +ωn,又由于

現在證{xn}是柯西列.?ε＞0.由于因此存在n0使得當n≥n0時,有

故存在p?∈F使得于是當n≥n0,?m≥1時,由引理2.2知

因此{xn}是柯西列.又由于C是實Banach空間E的閉子集.故必存在一點q∈C使得故d(q,F) = 0.由引理1.3知F是閉的,故q∈F.

定理2.2設C是實一致凸Banach空間E的非空閉凸子集,設S,T : C→E是分別具有{hn}?[1,∞),{ln}?[1,∞)的一致L-Lipschitzian漸近擬非擴張映射且

滿足條件(A′).設{xn}是由(1.4)所定義的迭代列,其中是[0,1]上的六個實數列且滿足

由(1.4)式知

兩邊同時取上極限,則有

注意到‖S(PS)n?1yn?p + cn(un?xn)‖≤hn‖yn?p‖+ cnQ.故

同時‖xn?p + cn(un?xn)‖≤‖xn?p‖+ cnQ.從而

由(2.1)式和(2.3)式知

再由limn→∞‖xn+1?p‖= c.故

由引理1.2及(2.5)-(2.7)式知

因為

再由引理1.2及(2.9)-(2.11)式可知

又

由S為一致L-Lipschitzian映射,有

由(2.8)式與(2.13)式知

又

又

由(2.12),(2.13)和(2.15)式知

從而

由(2.16)式知

又

由(2.12),(2.13)和(2.16)式知

由(2.12),(2.17)和(2.18)式知

由(2.13),(2.14)和(2.15)式知

由(2.20)式知

由(2.14),(2.18)和(2.21)式知

由條件(A′),(2.19)及(2.22)式知

再由定理2.1知{xn}強收斂到S,T的公共不動點.

注記2.1定理2.2將文獻[3]中的定理2中的自映射的強收斂定理推廣到了非自映射的強收斂定理.

參考文獻

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Convergence theorems for asymptotically quasi-nonexpansive non-self mappings

Shen Dexiong , Guo Weiping
(College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China

Abstract:In this paper ,we introduce a new two-step iterative scheme of two asymptotically quasi-nonexpansive nonself-mappings in real normed linear space and prove strong convergence theorems for the new two-step iterative scheme in Banach spaces. The obtained results in this paper improve and extend some corresponding results.

Key words:Banach space, asymptotically quasi-nonexpansive mapping, common fixed point, strong convergence

作者簡介：沈德兄(1991-),碩士生,研究方向：非線性泛函分析.

基金項目：國家自然科學基金(11271282).

收稿日期：2015-04-20.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.014

中圖分類號：O177.91

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0100-11