模糊值m-凸函數的性質及其共軛問題的研究

廖甲根,杜廷松,2

(1.三峽大學理學院數學系,湖北宜昌　443002 2.武漢科技大學冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室,湖北武漢　430081)

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模糊值m-凸函數的性質及其共軛問題的研究

廖甲根1,杜廷松1,2

(1.三峽大學理學院數學系,湖北宜昌443002 2.武漢科技大學冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室,湖北武漢430081)

摘要：基于m-凸函數提出了一類稱為模糊值m-凸函數的新概念.首先,研究了模糊值m-凸函數的若干基本性質;其次,給出了模糊值m-凸函數的共軛函數的概念,并給出了模糊值m-凸函數在一定的條件下的共軛函數是模糊值m-凸函數等相關性質;最后,討論了兩個模糊值m-凸函數的共軛函數與其下卷積的共軛函數之間的相互關系.

關鍵詞：模糊值m-凸函數;共軛函數;下卷積

1　引言

自1972年文獻[1]首次提出模糊集的概念以來,其理論研究已有了很大的進展,并得到廣泛的應用.而模糊凸分析,作為模糊優化理論研究的基礎,已成為模糊數學的重要分支.例如,文獻[2]給出了基于模糊數空間的一種新的序關系下的可微凸模糊數值函數、擬凸模糊數值函數的刻劃定理,并討論了它們的相互關系.文獻[3]討論了模糊映射的一致凸性及其有關性質,給出了模糊映射為一致凸的幾個判別準則,并得到了可微一致凸模糊映射在某一點達到最小值的充分條件.另外,在文獻[4]所建立的拓撲向量空間及引進的序關系下,文獻[5]引入了反模糊數的概念,建立了反模糊數空間,并討論了有關基本性質,文獻[6]提出了生成函數的概念,證明了由一類凸集生成的函數是模糊值凸函數,并利用上圖的性質,建立了模糊值凸函數的下卷積、右乘等概念.

最近,模糊映射的共軛問題在模糊規劃中越來越受重視.文獻[7]給出了模糊值凸函數的共軛函數的概念,并給出了模糊值凸函數的共軛函數是模糊值凸函數等相關性質.而對于廣義模糊凸函數,很多學者也做出了研究.比如,文獻[8]在下半連續的條件下,給出了一個模糊集是預不變凸模糊集的充分條件,并將模糊凸集的相關性質在模糊不變凸集上作了相應的推廣.文獻[9]提出了新的半E-預不變凸模糊映射和擬半E-預不變凸模糊映射的概念,討論了各類廣義E-凸模糊映射之間的關系,并給出了這類新的廣義凸模糊映射的一些性質及解集特征,得出了相應的最優性條件并將其應用在模糊規劃中.

筆者受文獻[4]所引入的序關系以及文獻[10]中提出的m-凸函數的概念的啟發,提出了一類模糊值m-凸函數的新概念.再結合文獻[6-7,11-12]中關于對模糊凸函數的性質和共軛函數及下卷集研究的思想,討論了模糊值m-凸函數基本性質和共軛問題,證明了其共軛映射在一定的條件下也是模糊值m-凸函數,并研究了模糊值m-凸函數的共軛函數與其下卷積之間的關系.

2　預備知識

實數集R上的一個模糊集u : R→[0,1]稱為模糊數,如果u是正規的,凸的,上半連續的,且支集是緊集.用F0表示R上的所有模糊數構成的空間,稱其為模糊數空間.

本文所討論的模糊數值函數是指從n維歐氏空間Rn中的一個非空子集S到模糊數空間F0的映射,即f : S→F0．由模糊數的參數表達式,模糊數值函數表示為

為了方便討論,對于模糊數

記

對于模糊數值函數

記

定義2.1[4]對于u ={(au(α),bu(α),α)|0＜α＜1}∈F0和

(1)如果Tu≤Tv,則稱u?v; (2)如果Tu= Tv,則稱u = v;

對于u,v∈F0,λ＞0,易證Tu+v= Tu+ Tv, Tλu=λTu.

定義2.2[12]設E是F0中的一個子集, M(m)∈F0稱為E的上確界,如果M(m)滿足下列條件:

(1)對任何u∈E,都有u?M(m?u),即M(m)為E的上(下)界;

(2)對E的每一個上界M0(m0),都有M?M0(m0?m).

定義2.3[10]函數f : [0,b]→R被稱為m-凸函數,則對任意的x,y∈[0,b],λ∈[0,1]以及固定常數m∈(0,1],函數f滿足

3　基本性質

結合定義2.3,下面給出m-凸集以及模糊值m-凸函數的概念.

定義3.1設y∈S?Rn,如果存在固定常數m∈(0,1],使得對任意x∈S,λ∈[0,1], 有λx+m(1?λ)y∈S,則稱S關于y是m-凸的.若對任意的y∈S,有λx+m(1?λ)y∈S,則稱S是一個m-凸集.

定義3.2設S為Rn中的非空m-凸集, m是(0,1]上的固定常數, f : S→F0為模糊值函數,如果對任意的x,y∈S,及λ∈[0,1],有

則稱f為S上的模糊值m-凸函數.

由于模糊值m-凸函數f(x)可表示為{(fa(α,x),fb(α,x),α)|0＜α＜1},所以根據文獻[5]中的定理1.7,易得fa(α,x)和fb(α,x)是m-凸函數.

定義3.3設E為Rn×F0中的一個非空子集,則稱函數

為由E生成的模糊值函數,其定義域為

定理3.1設S是Rn上的m-凸集, f : S→F0是模糊值函數,則f是模糊值m-凸函數的充要條件是:?x,y∈S,?u,v∈F0及λ∈[0,1],當Tf(x)≤Tu, Tf(y)≤Tv時,有

證明必要性.設f是凸模糊值m-凸函數,則有

所以當Tf(x)≤Tu, Tf(y)≤Tv時,有

充分性.設x,y∈S,對任意的0＜ε＜1,取

有

于是

令ε→0+,可得

因此, f是凸模糊值m-凸函數.

下面給出關于模糊值m-凸函數f與其epi(f)的關系, epi(f)定義如下

定理3.2設f : S→F0是模糊值函數,則f是模糊值m-凸函數的充要條件是epi(f) 是Rn×F0上的m-凸集.

證明充分性.設epi(f)是Rn×F0上的m-凸集,則對任意的

有Tf(x)≤Tu, Tf(y)≤Tv,且

即

必要性.對任意的x,y∈S,有(x,f(x)),(y,f(y))∈epi(f).由于f是一個模糊值m-凸函數,則

所以

即epi(f)是Rn×F0上的m-凸集.

定理3.3設E為Rn×F0中的一個非空m-凸集,則由E生成的模糊值函數f是S = {x|存在u∈F0,使得(x,u)∈E,x∈Rn}上的模糊值m-凸函數,并且epi(f)?E.

證明對x,y∈S及λ∈[0,1],則有

所以有f(x)?u, f(y)?v,即Tf(x)≤Tu, Tf(y)≤Tv.又由E的m-凸性,有

現場試驗流程如圖6所示，本次試驗設計處理量為100 m3/d，水處理設備保持24 h穩定運行，累計試驗20天。試驗過程中，根據出水水質情況，每隔8～10 h對兩級過濾器反洗一次。按照回注水指標要求，主要對處理流程進、出水油含量、懸浮物含量、粒徑中值3個指標進行檢測，水質檢測方法及標準參照SY/T 5329-2012《碎屑巖油藏注水水質推薦指標》。

從而

于是有

根據定理3.1,對任意的x,y∈S,當Tf(x)≤Tu, Tf(y)≤Tv時, f是S上的模糊值m-凸函數.

又由f(x) = inf{u|(x,u)∈E,u∈F0},則?u∈{u|(x,u)∈E,u∈F0},有f(x)?u, Tf(x)≤Tu,所以epi(f)?E.

定義3.4設f, g是m-凸集S上的兩個模糊值m-凸函數,則稱

為f和g的下卷積,記為f?g.

由引理1.2[6]和定理3.3易推出f和g的下卷積f?g是S上的模糊值m-凸函數.

4　主要結果

定義4.1設f : S→F0為一個模糊值m-凸函數,令

則稱定義在S?上的模糊值函數

為f的共軛函數.

定理4.1模糊值m-凸函數f(x)在Tf(x)≥0情況下，其共軛函數f?(x?)也是模糊值m-凸函數.

證明設f : S→F0為一個模糊值m-凸函數,先證明

為m-凸集.任取a?, b?∈S?則?x∈S,有

又?λ∈[0,1],有

所以

從而λa?+ m(1?λ)b?∈S?,即S?是一個m-凸集.下面證明f?(x?)是模糊值m-凸函數.任取x?, y?∈S?,則有

所以

由于Tf(x)≥0,且m是(0,1]的固定常數,則

從而可得

即

所以f?是S?上的模糊值m-凸函數.

定理4.2設f : S→F0和g : S→F0都是模糊值m-凸函數,則

(1)?x∈S,若f(x)?g(x),則f?(x?)?g?(x?);

(2) (cf)?(x?) = cf?(c?1x?) (c＞0).

證明(1)?x∈S,若f(x)?g(x),即Tf(x)≤Tg(x),所以對?x?∈S?,有

從而

(2)當c＞0時，則cf : S→F0也是一個模糊值m-凸函數.所以

根據定理4.2的證明過程, f?(x?)和g?(x?)的大小關系與m無關,所以有如下推論.

推論4.1設f : S→F0和g : S→F0分別是模糊值m1-凸函數和模糊值m2-凸函數, ?x∈S,若f(x)?g(x),則f?(x?)?g?(x?).

定理4.3設f : S→F0是模糊值m-凸函數, f?(x?)為f(x)的共扼映射.由f(x)可以表示為

則

證明根據文獻[5]中定理2.3的證明,又由于fa(α,x)和fb(α,x)是m-凸函數,所以f(x)的共扼映射可表示為

定理4.4設f,g : Rn→F0是兩個模糊值m-凸函數, f?,g?分別為其共軛函數,則有

證明由于f和g的下卷積f?g也是模糊值m-凸函數,根據定理2.1[7],有

從而

根據定理4.3,可以得出下面推論.

推論4.2設f,g : Rn→F0是分別是模糊值m1-凸函數和模糊值m2-凸函數, f?,g?分別為其共軛函數,則有

參考文獻

[1] Chang S S L, Zadeh L A. On fuzzy mappings and control [J]. IEEE Trans. Syst. Man. Cybern., 1972,2:30-34.

[2]李紅霞,鞏增泰.模糊數值函數的凸性與可導性[J].西北師范大學學報, 2007,43(5):1-6.

[3]包玉娥,吳梅花.一致凸模糊映射及其有關性質[J].純粹數學與應用數學, 2009,25(4):725-730.

[4] Goetschel-Voxman W. Elementary fuzzy calculus [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986,18:31-34.

[5]張成,袁學海.凸模糊映射的共軛映射[J].數學研究與評論, 2007,4:839-844.

[6]趙博,包玉娥,彭曉芹.一類模糊值凸函數的若干運算性質[J].模糊系統與數學, 2012,26(5):167-171.

[7]包玉娥,趙博,彭曉芹.關于模糊值凸函數的共軛問題的研究[J].純粹數學與應用數學, 2013,29(4):331-337.

[8]張萍,黃虎,王早.預不變凸模糊集的一些性質[J].純粹數學與應用數學, 2006,22(3):355-359.

[9]劉婷婷. E-凸模糊映射及其應用[D].重慶:重慶師范大學, 2014:18-27.

[10] Dragomir S S, Toader G H. Some inequalities for m-convex functions [J]. Studia Univ. Babes-Bolyai Math., 1993,38(1):21-28.

[11] Nanda S. On Fuzzy Integrals [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1989,32:95-101.

[12] Yan Hong, Xu Jiuping. A class of convex fuzzy mappings [J]. Fuzzy Sets and Systems, 2002,129:47-56.

2010 MSC: 03E72

On characterization and conjugate problem involving fuzzy-valued m-convex functions

Liao Jiagen1, Du Tingsong1,2
(1. College of Science, China Three Gorges University, Yichang 443002, China 2. Hubei Province Key Laboratory of System Science in Metallurgical Process, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

Abstract:In this paper, we introduced a new class of generalized fuzzy-valued convex functions which called fuzzy-valued m-convex functions by modulating the m-convex functions. First, we studied some basic properties of the fuzzy-valued m-convex functions. Then we presented the conception of the conjugate function for fuzzyvalued m-convex functions and proved some related properties which the conjugate function of fuzzy-valued m-convex functions is also fuzzy-valued m-convex function under certain conditions. Finally we discuss the relationship between the conjugate functions and inf-convolution of two fuzzy-valued m-convex functions.

Key words:fuzzy-valued m-convex function, conjugate function, inf-convolution

通訊作者：杜廷松(1969-),碩士,教授,研究方向:凸分析及最優化理論與算法.

作者簡介：廖甲根(1991-),碩士生,研究方向：凸性理論及其應用,模糊分析.

基金項目：國家自然科學基金(61374028);湖北省自然科學基金(2013CFA131);三峽大學培優基金(2015PY072).

收稿日期：2015-09-25.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.012

中圖分類號：O159.2

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0084-09