關于完全完備分配格上矩陣相對于特征值的特征向量

高元元,吳妙玲,韓鳳,薛英

(內蒙古工業大學理學院數學系,內蒙古呼和浩特　010051)

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關于完全完備分配格上矩陣相對于特征值的特征向量

高元元,吳妙玲,韓鳳,薛英

(內蒙古工業大學理學院數學系,內蒙古呼和浩特010051)

摘要：借助于偽補和矩陣的冪序列研究了完全完備分配格上矩陣相對于特征值的特征向量的計算方法,利用特征向量的性質證明了最大特征向量的計算公式,并給出了一般特征向量的計算方法.

關鍵詞：完全完備分配格;特征值;特征向量

1　引言

對古典線性問題: Ax =λx的研究由來已久,其中A是數域上的矩陣,在物理、力學、材料、電學、工程技術、哲學等學科中的許多問題都歸結為求矩陣的特征值和特征向量.如工程技術中的振動問題和穩定問題、傅立葉變換對應的頻率譜問題、求概率分布的功率譜密度、統計上的主成分分析、微分方程的特征函數以及一個物理系統的物理特性也是由表示該系統矩陣的特征值以及特征向量所決定. 20世紀六十年代以來,人們發現許多問題可以轉化為格上矩陣的特征值和特征向量,其中分配格上矩陣的特征值和特征向量尤為重要.分配格是格論中重要的格,分配格上矩陣的特征值和特征向量在計算機理論、范疇論、密碼學、拓撲代數和模糊數學等學科中有著廣泛的應用.研究分配格上矩陣的特征值-特征向量,主要考慮以下三個方面的問題:

(1)給定分配格上矩陣的特征向量,如何確定矩陣的相對于特征向量的特征值.

(2)給定分配格上矩陣的特征值,如何確定矩陣的相對于特征值λ的特征向量.

(3)給定分配格上一個向量ξ及一個數λ,如何確定以ξ為特征向量并以λ為特征值的矩陣A.

關于問題(1), Rutherford指出:給定Boolean代數上的矩陣A及特征向量,相對應的特征值構成Boolean代數上的一個區間,并給出這個區間的計算公式.后來文獻[1]把這個結論推廣到完全完備的分配格上,也得出類似的結論.對于問題(2), Rutherford證明了對于Boolean代數上的矩陣A, Boolean代數中的任一元都是A的特征值,且矩陣A的相對于特征值的特征向量構成一個子空間,并給出了子空間中最大特征向量的計算公式.對于問題(3), Blyth證明了以ξ為特征向量且以λ為特征值的分配格上的矩陣構成一個Gerbier (即V -半網狀-半群),并給出Gerbier中的最大矩陣的計算公式[1].本文在前人的基礎上,對完全完備分配格上矩陣的特征向量進行了研究,介紹了完全完備分配格上矩陣的特征向量的性質,指出與特征值λ對應的特征向量構成一個子空間,并給出最大特征向量的求解公式,又進一步介紹了一般特征向量的計算方法.

完全完備分配格是分配格,所以文中關于分配格的結論對于完全完備分配格同樣適用.

2　預備知識

定義2.1設L是一個格, a,b∈L,滿足不等式a∧x≤b的最大值x∈L被稱為a在b中的相對偽補,記為a→b,對于格L中的任意兩個元素a,b,有

定義2.2設L = 為格,如果L滿足:

(1)格L的每個非空子集S都有一個下確界和一個上確界;

文中格L是完全完備分配格,有最大元1及最小元0,記a′= a→0,a′′= (a′)′,

是L中的一個區間.

集合Vn(L)是L上所有的列向量組成的一個完全完備分配格,設0 = (0,···,0)T及e = (1,···,1)T.對任意的ξ,η∈Vn(L),i = 1,2,···,n,ξ≤η??ξi≤ηi,格上向量的運算為:

L上的n×n矩陣的集合Mn(L)組成一個完全完備分配格,對任意的矩陣

格上矩陣的運算為:

引理2.1[3]對任意的a,b∈L,(a→b)∧b′≤a′.

引理2.2[3]對任意的ξ,η,ζ,α1,···,αn∈Vn(L),有

引理2.3[3]對任意的a,b,c∈L,有

引理2.4[3]對任意的A∈Mn(L),A(ATe)′= 0.

引理2.5[3]設A = (aij)∈Mn(L),λ∈L且λ′∨λ= 1,ξ= (x1,···, xn)T∈Vn(L),如果λAξ= 0,那么

引理2.6[4]設A∈Mn(L),令A(k)= Ak∨···∨Ak+n?1,k≥1,則對任意的k≥n,

有A(k)= A(n).

引理2.7[5]設λ∈L,如果λ′∨λ= 1,那么λ′′=λ.

3　特征向量的性質

定理3.1設A∈Mn(L),λ是矩陣A的特征值,那么λ的所有特征向量構成Vn(L)的一個子空間E(A,λ),且存在最大的特征向量和最小的特征向量.

證明如果Aξ=λξ,Aη=λη,那么

從而λ的特征向量構成Vn(L)的子空間E(A,λ),其中最大特征向量ξ?是所有特征向量的并,最小特征向量是0.

定理3.2設A∈Mn(L),λ是矩陣A給定的特征值,那么(1)ξ?(λ) = (λe∨ATe)→(λAne);

(2)如果λ滿足λ′∨λ= 1,那么ξ?(λ) =λAne∨λ′(ATe)′.證明(1)

那么

因此

設?ξ∈E(A,λ),那么Aξ=λξ,則λξ=λAnξ≤λAne,因此ξ≤(λe)→(λAne).

一方面,?i,j = 1,2,···,n,當Aξ=λξ??(Aξ)i=λ∧ξi,有aij∧ξj≤λ∧ξi≤λ, 且ξj≤aij→λ,因此有

因此,

ξ≤((ATe)→(λe))∧((λe)→(λAne))≤(ATe)→(λAne) (引理2.2(4)), 且ξ≤((λe)→(λAne))∧((ATe)→(λAne)) = (λe∨ATe)→(λAne))(引理2.2(6)),因此ξ?(λ) = (λe∨ATe)→(λAne).

(2) A(λAne∨λ′(ATe)′) =λAn+1e∨λ′A(ATe)′=λAne =λ(λAne∨λ′(ATe)′)(由引理2.4),因此ξ?(λ)≥λAne∨λ′(ATe)′.

如果Aξ=λξ,那么λ′Aξ=λ′λξ= 0,由引理2.5及引理2.7有

由引理2.1得

因此,λ′ξ≤λ′(ATe)′.

另一方面, A(λξ) =λAξ=λλξ=λξ,因為ξ≤Anξ≤Ane,從而λξ≤λAne,因此ξ= (λ∨λ′)ξ=λξ∨λ′ξ≤λAne∨λ′(ATe)′,且ξ?(λ)≤λAne∨λ′(ATe)′,從而可得ξ?(λ) =λAne∨λ′(ATe)′.

4　特征向量的計算

定理3.2已經給出矩陣相對于特征值λ的最大特征向量的求解公式,那么如何求解相對于特征值λ的一般的特征向量?

λ= 1的特征向量稱為標準特征向量,如果x是矩陣A的一個標準特征向量,那么對于任意的λ∈L,λx必為矩陣A的關于特征值λ的一個特征向量.這是因為

因此求解一般特征向量,只需會解標準特征向量即可.下面介紹分配格上矩陣的標準特征向量的求法.

定理4.1 A為分配格L上的n×n矩陣, AX = X,當且僅當X = A(n)Y,?Y∈Ln, 即X = A(n)Y為A的全部標準特征向量.

證明由A(B∨C) = AB∨AC,可得

所以AA(n)Y = A(n)Y知A(n)Y是A的一個標準特征向量.

又因為X = AX =?X = A(n)X = A(n)Y (取X = Y ),可以看到每一個特征向量X都可以表示成A(n)Y的形式,所以X = A(n)Y為A的全部標準特征向量.

推論4.1 A為完全完備分配格上的n×n矩陣,則X =λA(n)Y為A的對應于λ的特征向量.

結合以上求解特征向量的方法,給出下面的例子.

例4.1如圖1所示,格L = {0,a,b,c,d,1},由定義2.2可知L是一個完全完備分配格. 設

那么ATe = (1,1,1)T,A3e = (1,b,1)T.

由定理3.2(1)的公式ξ?(λ) = (λe∨ATe)→(λAne),可得

當λ= 1時,λ′= 0,且λ′∨λ= 1,根據定理3.2(2)的公式ξ?(λ) =λAne∨λ′(ATe)′,從而可得ξ?(1) = (1 b 1)T, (與定理3.2(1)得出的結果一樣).

再根據推論4.1求解矩陣相對于特征值λ的特征向量X ,其中X =λA(n)Y .

給定特征值λ= d,可得

由于Y是任意的,可以取Y = e,則X =λA(3)Y = (d,a,d)T(與定理3.2(1)所得結果一樣).

參考文獻

[1] Tan Yijia. On generalized fuzzy matrices with period [J]. Fuzzy Sets And Systems, 2011,172:87-103.

[2]陳杰.格倫初步[M].呼和浩特:內蒙古大學出版社, 1988.

[3] Blyth T S. On eigenvectors of Boolean matrices [J]. Pro. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 1966,67(3):196-204.

[4]范周田.模糊矩陣理論與應用[M].北京:科學出版社, 2006.

[5] Kirkland S, Pullman N J. Boolean spectral theory [J]. Linear Algebra Appl., 1992,175(1):63-73.

MSC: 16Y60

Eigenvectors with the associated eigenvalues for matrices in a class of a complete and completely distributive lattices

Gao Yuanyuan , Wu Miaoling , Han Feng , Xue Ying
(Department of Mathematics, College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China)

Abstract:By means of the pseudocomplement and power sequence of matrix research the calculation method of the eigenvector with respect to the eigenvalues of matrix on on the complete and completely distributive lattices. Using the properties of eigenvectors proved the calculation formulas of maximum eigenvectors, and gives the method for solving general eigenvectors.

Key words:complete and completely distributive lattices lattices, eigenvalues, eigenvectors

通訊作者：吳妙玲(1964-),碩士,副教授,研究方向：格倫與模糊數學.

作者簡介：高元元(1987-),碩士生,研究方向：格論與模糊數學.

基金項目：內蒙古工業大學研究生教育教學研究項目(KC2014007).

收稿日期：2014-10-23.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.013

中圖分類號：O153.1

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0093-07