人教A版必修1第三章“函數(shù)的應(yīng)用”教材分析

于紅燕

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）07-189-03

一、教材功能與地位

本章是人教A版必修1第三章函數(shù)的應(yīng)用，前兩章已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些有關(guān)基本初等函數(shù)的知識(shí)，本章對(duì)函數(shù)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用，體會(huì)函數(shù)與方程、數(shù)學(xué)建模的思想。函數(shù)與方程的思想和函數(shù)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，是高中數(shù)學(xué)的重要思想和支撐高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)。《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》提出要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，而本章第一次提及數(shù)學(xué)建模，學(xué)生通過解決實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)建模的思想方法，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題當(dāng)中的威力，為今后進(jìn)一步運(yùn)用理論解決實(shí)際問題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

二、內(nèi)容安排

本章共4節(jié)：1.1方程的根與函數(shù)零點(diǎn)，1.2用二分法求方程的近似解，1.3幾類不同增長的函數(shù)模型，1.4函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例。

本章主要圍繞函數(shù)的應(yīng)用展開，首先介紹了函數(shù)與方程的關(guān)系，方程的根是函數(shù)的零點(diǎn)，借助于函數(shù)的零點(diǎn)來確定方程的根，這是函數(shù)的應(yīng)用之一。其次，生產(chǎn)和生活中的許多模型幾乎都與基本初等函數(shù)有關(guān)，本章第二節(jié)就專門介紹函數(shù)模型及具體的實(shí)例。這樣我們學(xué)習(xí)完前兩章的理論知識(shí)，對(duì)理論知識(shí)進(jìn)行了實(shí)際應(yīng)用。

三、課程目標(biāo)與學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、課程目標(biāo)

學(xué)習(xí)知識(shí)是為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他知識(shí)或運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中去，尤其數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，如果只是學(xué)習(xí)理論知識(shí)而不去運(yùn)用與實(shí)踐，這就完全違背了數(shù)學(xué)的初衷。本章的學(xué)習(xí)是建立在前兩章的基礎(chǔ)之上，體會(huì)函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的基本初等函數(shù)理論知識(shí)，很好的理解本章內(nèi)容。

2、學(xué)習(xí)目標(biāo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)本章的要求：

（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的聯(lián)系。

（2）根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。

（3）利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異，結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。

（4）收集一些生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。

四、課時(shí)建議

本章需課時(shí)8課時(shí)，具體分配如下：

1、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)（約1課時(shí)）

2、用二分法求方程的近似解（約2課時(shí)）

3、幾類不同增長的函數(shù)模型（約2課時(shí)）

4、函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例（約2課時(shí)）

小結(jié)（約1課時(shí)）

五、教材內(nèi)容分析及建議

本章章頭有文字?jǐn)⑹龊筒鍒D，文字部分引出本章學(xué)習(xí)內(nèi)容。我們學(xué)習(xí)過函數(shù)概念、函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)模型，它們可以刻畫現(xiàn)實(shí)生活中事物的不同變化規(guī)律。本章通過一些實(shí)例感受建立函數(shù)模型的過程和方法，初步運(yùn)用函數(shù)的思想解決現(xiàn)實(shí)生活中一些簡單問題。另外，通過利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)，用二分法求方程近似解的方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系。

1、函數(shù)與方程

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間關(guān)系的確定，教學(xué)難點(diǎn)：用二分法求方程的近似解。

本節(jié)3課時(shí)，從函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根出發(fā)得到它們間的關(guān)系，將方程根的確定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)，運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)也即方程的近似解。

（1）方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

本小節(jié)先由思考欄目提出問題，提出帶有字母的抽象的一元二次方程的根與相對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象間的關(guān)系。接著課本從具體的一元二次方程及其相應(yīng)的二次函數(shù)（三種情形）出發(fā)，做出一元二次函數(shù)的圖象，分析一元二方程的根與其相應(yīng)的一元二次函數(shù)圖象間的關(guān)系。一元二次方程的根是其對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。回到思考欄目的問題，對(duì)于一般的一元二次方程 及其相應(yīng)的二次函數(shù) 也成立。

為了將以上的結(jié)論推廣到一般情形，教材給出了函數(shù)零點(diǎn)的概念，對(duì)于函數(shù) ，使 的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù) 的零點(diǎn)。由此，得到函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象與方程根之間的關(guān)系即方程 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數(shù) 有零點(diǎn)。教材很自然的得出求方程 的實(shí)數(shù)根，就是確定函數(shù) 的零點(diǎn)。

探究欄目給出一個(gè)具體二次函數(shù)的圖象，要探討零點(diǎn)所在閉區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)之間的關(guān)系。讓學(xué)生任意畫幾個(gè)函數(shù)圖象，觀察圖象得出結(jié)論即零點(diǎn)存在性定理。接著給出求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的例子，借助于函數(shù)性質(zhì)和零點(diǎn)存在性定理得出答案。

教材先提出一個(gè)一般問題，由特殊的函數(shù)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想去研究問題，得出一元二次方程與其對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)圖象間的關(guān)系，將它推廣到一般的函數(shù)。不能用公式求根的方程可與函數(shù)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求方程的根，這是轉(zhuǎn)化的思想。

（2）用二分法求方程的近似解

在上一小節(jié)教材給出了判斷函數(shù)零點(diǎn)存在的方法，也就是方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，本節(jié)用二分法求方程的近似解。思考欄目接著上節(jié)中的例子，提出如何根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的是跟的關(guān)系求方程 的根？接著，介紹二分法，逐步縮小零點(diǎn)所在區(qū)間，在已給定的精確度允許下，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值。給出求方程近似解的例子。

本節(jié)在無限逼近、數(shù)形結(jié)合、算法的思想下，運(yùn)用迭代方法以零點(diǎn)存在性定理作為理論依據(jù)，逐步縮小零點(diǎn)存在的區(qū)間，最終得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值。

函數(shù)與方程總共3課時(shí)，方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)可用一節(jié)課完成，二分法教學(xué)內(nèi)容可以安排兩節(jié)課，第一節(jié)課重點(diǎn)放在二分法的發(fā)現(xiàn)及逼近的思想上，第二節(jié)課重點(diǎn)可以放在二分法的應(yīng)用上，這樣對(duì)教學(xué)目標(biāo)的定位重點(diǎn)突出，并符合課程標(biāo)準(zhǔn)理念，培養(yǎng)了學(xué)生理性精神和能力，同時(shí)也有利于落實(shí)二分法的具體操作和應(yīng)用。教材例1求方程 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以由多種方法解答，法1按教材處理，法2思路跟法1一樣，不需要用表格的形式分析 與 的變化關(guān)系，可用我們學(xué)過的函數(shù)的性質(zhì)去分析函數(shù)的單調(diào)性，從而得出其零點(diǎn)個(gè)數(shù)。法3可將本題目轉(zhuǎn)化為求方程 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù) 和函數(shù) 兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題。用二分法求方程近似解時(shí)，一定要讓學(xué)生自己思考，然后師生共同分析，由于數(shù)值計(jì)算較為復(fù)雜，需要學(xué)生恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用信息技術(shù)工具。例子解答完讓學(xué)生再次嘗試總結(jié)用二分法解決方程近似解的步驟。

2、函數(shù)模型及其應(yīng)用

教學(xué)重點(diǎn)：結(jié)合函數(shù)圖象解決實(shí)際問題，教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)建模的過程。

本節(jié)需要4課時(shí)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)是為了更好的運(yùn)用到實(shí)際生活中，本節(jié)介紹現(xiàn)實(shí)生活中常見的函數(shù)模型以及運(yùn)用函數(shù)知識(shí)所要解決的具體實(shí)例。認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模的過程，對(duì)于運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題很有幫助。

（1）幾類不同增長的函數(shù)模型

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，面對(duì)實(shí)際問題，如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫這是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵。本小節(jié)給出兩個(gè)實(shí)例，介紹如何恰當(dāng)選取函數(shù)模型，解決實(shí)際問題。

例1投資問題，有三種投資方案，根據(jù)不同方案通過圖表與圖象分析哪個(gè)方案獲益最大。例2某公司獎(jiǎng)勵(lì)模型的評(píng)定，三種模型，教材借助于計(jì)算機(jī)在同一直角坐標(biāo)系中作出三個(gè)函數(shù)圖象，通過分析圖象得到符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)模型。教材中介紹了不通過函數(shù)圖象，可以運(yùn)用我們學(xué)過的有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)解決此問題。教材根據(jù)例2中函數(shù)增長的快慢，提出對(duì)數(shù)函數(shù) ，指數(shù)函數(shù) 與冪函數(shù) 在 上增長的差異的研究。通過研究具體的三個(gè)函數(shù) 的圖象，通過觀察欄目研究它們?nèi)齻€(gè)函數(shù)的增長情況。有探究的問題將以上結(jié)論推廣到一般情形，即解決了對(duì)數(shù)函數(shù) ，指數(shù)函數(shù) 與冪函數(shù) 在 上增長的差異，這一問題。

教材運(yùn)用從特殊到一般的研究問題的思想，數(shù)形結(jié)合研究特殊函數(shù)的情形，進(jìn)而推廣到一般函數(shù)。

（2）函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

教材引入本節(jié)內(nèi)容，通過一些實(shí)例，讓學(xué)生感受基本初等函數(shù)的廣泛應(yīng)用，體會(huì)解決實(shí)際問題中建立函數(shù)模型的過程。例3用到了分段函數(shù)，提高了學(xué)生讀圖的能力，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的重要模型。例4給出了人口增長模型 其中 表示經(jīng)過的時(shí)間， 表示 時(shí)的人口數(shù)， 表示人口的年平均增長率。此函數(shù)是指數(shù)型函數(shù)，在 上為增函數(shù)，讓學(xué)生感受指數(shù)爆炸這一概念。這一例子告訴我們用已知的函數(shù)模型刻畫實(shí)際問題時(shí)，由于實(shí)際問題的條件與得出已知模型的條件會(huì)有所不同，因此往往需要對(duì)模型進(jìn)行修正。例5二次函數(shù)模型，二次函數(shù)模型是實(shí)際生活中最常用的模型之一，沒有給出兩變量間的關(guān)系，根據(jù)已知找出建模過程尤為重要。例6已知關(guān)于兩變量的若干數(shù)據(jù)，尋找刻畫這兩變量的函數(shù)模型，從而對(duì)其他情形做出預(yù)測(cè)。其意圖通過收集到的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問題。要注意用函數(shù)模型擬合兩變量關(guān)系，這樣的模型可能不同。本小節(jié)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，具體問題的解決運(yùn)用所學(xué)的有關(guān)函數(shù)知識(shí)以數(shù)形結(jié)合的思想分析問題從而解決問題。

教材從兩個(gè)方面展開函數(shù)應(yīng)用，突出用數(shù)學(xué)解決問題，一是函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的有機(jī)聯(lián)系，這里集中研究的是從函數(shù)特征判定方程實(shí)數(shù)解的存在性及方程的近似解；二是函數(shù)與實(shí)際問題的聯(lián)系，用函數(shù)解決實(shí)際問題，著眼于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的理解，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索、解決問題的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力。

本節(jié)共4課時(shí)幾類不同增長的函數(shù)模型2課時(shí)，函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例2課時(shí)。教材例2學(xué)完之后，提出研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長差異，運(yùn)用圖和表兩種方法比較三個(gè)函數(shù)的 ， ， 的增長差異。教師可以把 ， 兩個(gè)函數(shù)的增長速度的比較以“探究”形式留給學(xué)生，借助于計(jì)算器作出函數(shù)圖像，從而得出三個(gè)函數(shù)增長的差異，進(jìn)一步分析出 ，指數(shù)函數(shù) 與冪函數(shù) 在 上增長的差異。對(duì)于其他實(shí)例的處理都要體現(xiàn)學(xué)生倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。教材例6的處理除了由指數(shù)型函數(shù)模型擬合之外，引導(dǎo)學(xué)生用二次函數(shù)模型擬合，并比較哪種類型的模型擬合程度好。實(shí)例講解完，師生共同總結(jié)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的思路和具體步驟即數(shù)學(xué)建模的過程，并且一定要讓學(xué)生有充足的時(shí)間聯(lián)系鞏固，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

六、習(xí)題分析

本章共兩節(jié)內(nèi)容即1.1函數(shù)與方程和1.2函數(shù)模型及其應(yīng)用，教材中相應(yīng)的配備了一定數(shù)量的例題、習(xí)題供學(xué)生學(xué)習(xí)和練習(xí)，由此鞏固并形成技能和能力。

1、函數(shù)與方程這一節(jié)配備了課堂練習(xí)4道，習(xí)題共8道。4道練習(xí)中1道是根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的關(guān)系學(xué)生自己作圖判斷方程有無實(shí)根，1道是根據(jù)零點(diǎn)存在性定理借助計(jì)算機(jī)作圖，判斷零點(diǎn)所在大致區(qū)間。另外2道均是借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器運(yùn)用二分法求方程在指定區(qū)間上的近似解（精確度已知）。習(xí)題中的8道題，其中6道是借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器運(yùn)用二分法求方程在指定區(qū)間上的近似解（精確度已知），2道是對(duì)零點(diǎn)存在性定理的理解的題目，注意定理運(yùn)用的條件和結(jié)論。教材這樣配備練習(xí)、習(xí)題要求學(xué)生體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，理解零點(diǎn)存在性定理，能借助于計(jì)算器或計(jì)算機(jī)求具體方程給定精確度要求的近似解，熟練的歸納出二分法求解方程根的步驟，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力。

2、函數(shù)模型及其應(yīng)用中共有練習(xí)題7道，習(xí)題8道。練習(xí)中2道是有關(guān)指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問題，1道是根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象比較它們的增長情況，3道是已知函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問題，還有1道練習(xí)題是沒有給出函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問題，讓學(xué)生通過對(duì)已知條件進(jìn)行分析得出符合題意的函數(shù)模型，然后解決問題。習(xí)題中的8道題均是函數(shù)模型的應(yīng)用問題，題型可分為兩類三種，即已知函數(shù)模型的應(yīng)用問題、未知函數(shù)模型的應(yīng)用問題。未給出函數(shù)模型的應(yīng)用問題可分為兩種：僅僅用列表法給出兩變量間的關(guān)系，給出已知條件的實(shí)際問題。其中，已知函數(shù)模型的應(yīng)用問題共2道，用列表法給出兩變量間的關(guān)系共3道，給出已知條件的實(shí)際問題共3道。教材練習(xí)、習(xí)題中函數(shù)模型的應(yīng)用問題占絕大多數(shù)，由此應(yīng)把教學(xué)重點(diǎn)放在運(yùn)用函數(shù)知識(shí)，通過分析問題建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題上。教材通過編排練習(xí)、習(xí)題，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)興趣。

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的起始課程，函數(shù)的重要性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是函數(shù)的思想價(jià)值；二是函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值。就函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值而言，既要考慮到學(xué)生初中已有的基礎(chǔ)，又要為整個(gè)高中階段數(shù)學(xué)應(yīng)用的學(xué)習(xí)作必要的準(zhǔn)備。學(xué)生通過學(xué)習(xí)本章知識(shí)，再次認(rèn)識(shí)到函數(shù)是變量間的依賴關(guān)系。通過嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法解決生活和生產(chǎn)中的實(shí)際問題，獲取一些研究問題的經(jīng)驗(yàn)和方法。