對一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的分析

修 昊●

遼寧省莊河高中三年十一班(116400))

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對一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的分析

修 昊●

遼寧省莊河高中三年十一班(116400))

對多年來高考的實際情況進(jìn)行分析可知，人們的關(guān)注度非常高，而在高考數(shù)學(xué)中，壓軸題的難度較大，需要學(xué)生具備較強的綜合能力、開放性思維，才能找到解題方法.因此，本文就對一道高考數(shù)學(xué)壓軸題進(jìn)行合理分析，以便為高考生提供可參考依據(jù).

高考；數(shù)學(xué)；壓軸題；分析

在實際解答高考數(shù)學(xué)的各種題型時，壓軸題會給學(xué)生帶來極大壓力，甚至使學(xué)生出現(xiàn)畏懼心理，從而失去自信心.因此，對高考數(shù)學(xué)壓軸題的解答進(jìn)行正確引導(dǎo)，可以有效調(diào)節(jié)學(xué)生的心理壓力，從而避免高考生的數(shù)學(xué)成績受到過大影響.

一、高考數(shù)學(xué)壓軸題的現(xiàn)狀

同其它類型的考試相比而言，高考的選擇性非常強，因此，高考數(shù)學(xué)壓軸題在設(shè)計時有著一定階梯性，即使平時表現(xiàn)良好、基礎(chǔ)知識比較牢固的學(xué)生，在解答壓軸題時也會出現(xiàn)膽怯的心理.目前，大部分學(xué)生在日常的壓軸題解答中，沒有養(yǎng)成比較良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也沒有形成屬于自己的解題思路、方法等，以及學(xué)生沒有形成挑戰(zhàn)和解答壓軸題的習(xí)慣，從而在高考中解答壓軸題時出現(xiàn)無從下手的情況，最終降低高考生的壓軸題得分率.

二、對一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的分析

本文就近幾年的高考數(shù)學(xué)壓軸題進(jìn)行抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，其涉及的數(shù)學(xué)知識點主要有如下幾個方面：一是，不等式證明；二是，數(shù)列方面；三是，函數(shù)方面；四是，圓錐曲線方面，而有兩個問題的高考數(shù)學(xué)壓軸題為十道左右，有三個問題的為八道左右.本文就2014年某個省的高考數(shù)學(xué)壓軸題進(jìn)行分析，其涉及的是拋物線、方程式方面的內(nèi)容.

(一)題目

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M到y(tǒng)軸的距離比其到點F(1,0)的距離少1，其中，點M的軌跡是C.

(二)求解的問題

第一，求軌跡C的方程；第二，假如斜率為k的直線l經(jīng)過的定點為P(-2,1)，那么直線l和軌跡C有一個公共點、兩個公共點和三個公共點的時候，k的取值范圍具體應(yīng)該是多少？對該題目進(jìn)行整體的分析可知，其考查的主要是課本上相關(guān)知識點之間的通性，以及軌跡方程的求解方法、直線與拋物線之間的關(guān)系、函數(shù)與方程的相關(guān)性、學(xué)生的推理能力等.同時，該類型的高考壓軸題需要的運算量不大，難度屬于中等，與課本上的內(nèi)容比較接近，并且，充分考驗學(xué)生的學(xué)科能力、思維能力等，以全面體現(xiàn)學(xué)生的運算求解能力.

(三)具體的求解分析

根據(jù)第一個問題的內(nèi)容可知，軌跡C的方程求解，是對曲線、方程之間的關(guān)系進(jìn)行考查，考驗通過題目的意思將點M的坐標(biāo)滿足關(guān)系式列出來，即|MF|=|x|+1,接著將這個關(guān)系式化簡，便可以得到軌跡C的方程.通過考查學(xué)生比較熟悉的知識點，有利于增強學(xué)生的自信心，從而緩解學(xué)生的心理壓力.

在進(jìn)行第二個問題的解答時，想要對直線l與軌跡C之間的交點個數(shù)進(jìn)行正確判斷，通常采用的解題方法是解析法，以對直線l方程、軌跡C方程共同組成的方程組進(jìn)行解題討論，從而根據(jù)方程組的解答情況來進(jìn)行直線l與軌跡C之間的交點個數(shù)的判斷，是一種屬性轉(zhuǎn)化、化歸思想的具體體現(xiàn).

一般軌跡C的方程可以轉(zhuǎn)化為如下兩種：第一，C1；第二，C2，以對直線l方程、軌跡C1方程共同組成的方程組和對直線l方程、軌跡C2方程共同組成的方程組進(jìn)行合理討論.其中，在進(jìn)行對直線l方程、軌跡C1方程共同組成的方程組的討論時，k要分為兩種情況，即k等于0和k不等于0，并且，在k不等于的時候，Δ有三種情況需要分別討論，即Δ>0、Δ=0、Δ<0,是分類與整合思想的充分體現(xiàn)，在考查學(xué)生綜合能力、歸納能力、邏輯思維能力等方面有著極大要求.

(四)具體的解題流程

第一個問題.將點M假設(shè)為(x,y)，那么根據(jù)題意有：在x≥0的情況下，點M到直線x=-1的距離和其到點F(1,0)的距離是一樣，根據(jù)拋物線的定義可以將點M的軌跡C的方程是C1，即y2=4x；在x<0的情況下，點M到直線x=1的距離和其到點F(1,0)的距離是一樣，因而點M的軌跡C的方程是C2，即y2=0.總之，點M的軌跡C的方程是y2=4x(x≥0)和y2=0(x<0)共同組成的.

第二個問題.根據(jù)題目的內(nèi)容可知，直線l的方程可以列為：y-1=k(x+2).

首先，對直線l和C2之間的公共點個數(shù)進(jìn)行判斷.在k等于0的時候，直線l和x軸是相對平行的，則直線l和C2之間沒有公共點；在k不等于0的時候，根據(jù)方程組y-1=k(x+2)和y=0(x<0)，可以求解出x=-(2k+1)/k,因此，在k<-1/2或k大于等于0的時候，直線l和C2之間有的公共點個數(shù)是一個；在-1/2≤k<0的時候，直線l和C2之間是沒有公共點的.其次，對直線l和C1之間的公共點進(jìn)行判斷.根據(jù)方程組y-1=k(x+2)和y2=4x，可以得出：ky2-4y+4(2k+1)=0，即k等于0時，直線l和C1之間的公共點有一個，而在k不等于0的情況下，如果Δ>0，則公共點個數(shù)為兩個；如果Δ=0，則公共點有一個；如果Δ<0,則沒有公共點.

總之，高考生在準(zhǔn)備參加高考之前，需要對各個數(shù)學(xué)知識點進(jìn)行統(tǒng)籌復(fù)習(xí)，加強各個知識點之間的聯(lián)系，并增強自己的信心，正確面對高考數(shù)學(xué)壓軸題，才能獲得較好的高考成績.

[1]李仲凱.正確看待高考數(shù)學(xué)壓軸題[J].高中生,2014,15:28-29.

[2]閆東,李艷玲.小題大做——基于高考數(shù)學(xué)壓軸題的教學(xué)設(shè)計[J].時代教育,2014,18:38.

[3]段留安.一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的簡便解法[J].中學(xué)生數(shù)理化(教與學(xué)),2014,07:94.

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