依靠“基本套路”，踐行“單元教學”——以“矩形、菱形”第1課時教學為例

☉浙江省溫州市甌海區塘下中學　陳乘風

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依靠“基本套路”，踐行“單元教學”——以“矩形、菱形”第1課時教學為例

☉浙江省溫州市甌海區塘下中學陳乘風

初二幾何中特殊的平行四邊形（如矩形、菱形及正方形）教學時，常常是分別研究矩形、菱形及正方形，一個一個地開展研究，而且有些教師還將矩形的性質專門安排一課時，矩形的判定再安排一課時，似乎擔心學生接受不了，各個擊破，然后輔之以大量的練習題美名為鞏固訓練.經由《中學數學》等刊物推介的李庾南老師倡導的單元教學表明，基于數學知識的前后一致、邏輯連貫而重組教材，開展單元教學是有教學可能性的.筆者在新近一次執教特殊的平行四邊形的研究課時，就整合教材內容，把矩形、菱形及正方形作為一個單元，在該單元的第1課時就跟學生一起研究矩形和菱形的性質與判定，也取得了較好的教學效果.本文整理該課的教學設計，并跟進解讀教學立意，供研討.

一、“矩形、菱形”第1課時教學設計

（一）開課階段，研究矩形

從復習平行四邊形的定義、性質與判定開始，在黑板上給出四邊形到平行四邊形的條件，并引導學生回顧研究平行四邊形的“基本套路”，即從定義、性質和判定的角度開展研究，而具體的是關注邊、角、對角線三種元素.

圖1

接著添加強化條件（如圖1）：平行四邊形的一個內角為直角時，此時平行四邊形成為一個什么圖形？（預設：學生熟悉的長方形）

根據研究經驗，請學生給出“定義”：有一個角為直角的平行四邊形為矩形.

追問：矩形是一種特殊的平行四邊形，它有哪些性質呢？你準備從哪些角度來研究矩形？（安排學生獨立探索2分鐘后再在小組內交流，然后全班匯報，最后教師參與梳理形成板書，從邊、角、對角線、軸對稱性質的角度概括、歸納出矩形的性質定理）

（二）例題學習，研究判定

例1如圖2，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形的對角線的長.

圖2

講解預設：安排學生先貫通思路，然后請學生匯報自己的思路，其他學生傾聽后表達各自的思考.比如有的學生可能是先證等邊△ABO，再分析出矩形對角線的長；也有學生是先推出△ABC是含30°角的特殊直角三角形.

變式：在這個問題中，把目光聚焦在Rt△ABC中，如果沒有∠AOB=60°這個條件，點O是AC的中點，則斜邊AC上的中線BO還會是斜邊AC的一半嗎？

變式意圖：從特殊到一般把思考引向深入，并得出性質定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.”證明這個定理時，可以利用“倍長中線法”將三角形補全成一個四邊形，并證出這是一個矩形，再利用矩形對角線相等且互相平分的性質證明定理.

在上述研究過程中，將會涉及矩形的判定，以此為過渡，接下來就全面研究矩形有哪些判定方法.

研究矩形判定的活動預設：先安排學生獨立研究，從邊、角、對角線等角度思考，可以先證平行四邊形后再增加強化條件；也可以從一般四邊形開始，引出三個角為直角等，最后再跟學生一起明確符號語言，便于規范和簡化后續例、習題的解題過程.

例2如圖2，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且OA=OD，∠OAD=60°，求∠OAB的度數.

講評預設：需要引導學生重視證明矩形的過程和規范步驟，并體會矩形性質、判定的靈活運用.

追問：當AD=2時，求?ABCD的面積.

（三）類比學習，研究菱形

過渡：剛才我們對平行四邊形添加一個強化條件后成為矩形，如果我們添出另外一個強化條件（如圖3）：有一組鄰邊相等，此時平行四邊形又會怎樣特殊呢？你準備從哪些角度來研究呢？

圖3

預設：安排學生獨立研究3分鐘后，小組內交流，再全班匯報.在匯報過程中，教師可通過引導、追問，把問題研究的角度豐富起來，具體來說，如何定義菱形？怎樣研究菱形的性質？怎樣反過來研究菱形的判定？如何使得判斷的條件最簡化？最后在黑板上形成板書，梳理出相關知識要點.（限于篇幅，這里不給出相關性質和判定定理）

例3如圖4，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AB=5，AO=3，BO=4.求證：?ABCD是菱形.

圖4

預設：安排學生利用勾股定理的逆定理證明AC⊥BD之后，再結合菱形的判定方法證出菱形.教學對話時關注學生的表達，特別是幾何語言的組織是否準確、簡潔.

追問：你有哪些不同的方法求菱形ABCD的面積？

預設：可以作出BC邊上的高，也可根據菱形兩條對角線互相垂直，直接用對角線乘積的一半；或者求出△ABO的面積，再乘以4等，暴露學生的思維過程，展示不同解法.

（四）練習與“生長式”小結

練習：如圖5，兩張等寬紙條交叉疊放在一起，重合部分構成的四邊形ABCD是一個什么圖形？為什么？

預設：學生首先會發現這是一個平行四邊形，但還不徹底，需要發現這是一個菱形，并追問判定菱形的依據.

圖5

圖6

變式：將其中一張紙條繼續旋轉，如圖6，四邊形ABCD中有一個直角時，此時四邊形又是一個什么圖形呢？

預設：這時成為一個正方形了，而本節課由于教學時間所限，課堂上已沒有繼續研究的時間了，就把正方形作為特殊的矩形或特殊的菱形留給學生課后自主研究，并在黑板上形成四邊形與平行四邊形之間的知識結構.

附：板書設計

特殊的平行四邊形：矩形、菱形、正方形

二、教學立意的進一步闡釋

1.基于知識的前后一致、邏輯連貫規劃教學單元

由李庾南老師倡導的單元教學可知：單元的劃分是第一位的，即根據知識的整體結構，“前后一致、邏輯連貫”（章建躍語）整體規劃教學單元，像本文課例規劃在矩形、菱形及正方形這一單元中，而本課作為第1課時，第2課時可以繼續研究正方形，第3、4、5課時建議安排相關習題課的教學.值得一說的是，根據學情，如果第1課時的教學內容偏多，還可在整個框架之內做靈活的處理，比如只探究到了菱形的性質教學時間就到了，那么就在第2課時繼續菱形的判定研究，并后續開展正方形的研究，這樣在整個單元的知識體系都構建起來之后，再進入本單元的習題教學.

2.基于學生最近發展區，用好學生已有“研究套路”

最近發展區理論是新世紀課改以來一個普遍得到傳播的教學理解，從本質上說就是要基于學情，也是“三個理解”（章建躍語）中的“理解學生”.對于本課例來說，學生的最近發展區有多個理解的角度或層次，比如學生已有四邊形、平行四邊形的知識儲備，同時有了研究三角形、四邊形的很多“研究套路”，比如新接觸一種圖形，則需要研究它如何定義、性質怎樣、如何判定等，具體來說，又需要從邊、角、對角線、對稱性等角度開展深入、細致的研究和概括.

3.重視教材例、習題的變式追問，讓教學環節關聯呼應

數學教學離不開例、習題的訓練，而例、習題的選擇首先要關注的是教材，這也是“以本為本”的重要內涵.本課例中一些例、習題均選自教材，但又不止步于教材例、習題的照搬呈現，而是加強了變式與追問，使得這些例、習題的功能得到充分發揮，特別是通過一些變式與追問使得教學環節之間充分關聯與呼應.比如，在例1的變式中，把矩形“截去”一半得到直角三角形后，把問題的思路過渡到矩形性質的一個推論（直角三角形斜邊上的中線的性質）.再比如，例3選自教材，但不止于判定菱形，而是進一步整合教材內容，把菱形面積融合進來，使得例題的功能得到豐富，追求了成果擴大，實現了“做一題，會一類”的教學效果.

參考文獻：

1.湯志良.步步有據：推導冪的運算性質——李庾南老師“冪的運算性質”課例賞析［J］.中學數學（下），2015（5）.

2.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

3.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.仇錦華.從數學整體觀看單元教學［J］.中學數學教學參考（中），2015（11）.