基于對稱視角的一題多法的研究

☉山東省棲霞市教體局教研室　王志進

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基于對稱視角的一題多法的研究

☉山東省棲霞市教體局教研室王志進

一、研究一題多法的緣起

一題多法是具有中國特色的數學教育成果之一，它在培養學生的發散思維、提高學生的綜合素養及減輕學生的學習負擔等方面作用巨大.

筆者在長期的實踐與研究中，深感學生解題思路匱乏，不少學生面對教師或教輔給出的精彩紛呈的巧思妙解，往往產生難以企及的自卑感，因此，破解一題多法產生的密碼，從而讓更多的學生受益，是數學教育者共同面對的難題，也是筆者長期研究的課題.

本文研究的范圍僅限于某一知識領域內的、教師在教學中可操作的、學生便于掌握的一題多法，研究策略是基于對稱視角下，對這些眼花繚亂的解法之間關系的揭示與梳理，從而揭示一題多法自然產生的密碼.

二、探索一題多法的歷程

圖1

筆者見過不少專著、論文等文獻探索一題多法的成因，下面的三個案例引起了筆者的注意.

案例1如下所示.

例1如圖1，在△ABC中，AC= BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.

（1）已知CD=4cm，求AC的長；

（2）求證：AB=AC+CD.

反思：這是山教版義務教育課程標準實驗教科書數學七年級下冊第128頁的一個例題，也是初中數學的一個經典題型——求線段之和的問題，課本上的解法很顯然是截長法.有經驗的老師會補充另一種解法：補短法.

截長與補短，它們之間是怎樣的關系呢？它們之間的這種關系能引發我們對一題多法產生怎樣的思考呢？

案例2如下所示.

上海教師進修學校的孫琪斌老師早在20多年前就發現有一類題目的證明方法時常成對出現！并于2009年和2010年兩次在《上海中學生報》（中招周刊）分別撰文《從一個有趣的證法成對說起》（例2）和《再談“證法成對出現”》（例3），利用平行線構造A型或X型基本圖解決問題的方法成對出現，即過圖中的每個點都存在兩種利用平行線構造A型或X型基本圖的解題方法.

例2（2009年山東濰坊）已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC.取AB的中點F，連接FD交AC于點E（如圖2）.

圖2

（2）若AB=a，FB=EC，求AC的長.

反思：孫琪斌老師利用自己發現的成對理論，引導學生分別過A、B、C、D、E、F六個點中的任意一個點都可以作兩條平行線，共得到十二種解法，

例3（2010年上海）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°.半徑為1的圓A與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E，連接DE并延長，與線段BC的延長線交于點P.

圖3

（1）當∠B=30°時，連接AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

反思：2010年上海市初中畢業統一學業考試數學卷第25題中第二、三問也屬于這類“證法成對出現”的范疇.引導學生分別過A、B、C、D、E、P六個點中的任意一個點都可以作兩條平分線，共得到十二種解法.

案例3如下所示.

列方程解應用題是初中數學的一個難點，學生列一個方程都很難，又怎能實施一題多法呢？特級教師孫維剛發現列方程的一個絕招：選擇題目中的任意一個量，然后用兩種方式加以表達，并用等號連接，即可以得到方程！

反思：題中的任何一個量既然都可以用兩種方式表達，那么這些量之間存在著怎樣的關系？

這三個案例都能夠形成一題多法，它們的關鍵詞分別是“截長與補短”“過任意一個點都可以作兩條平行線，證法成對出現”“任意一個量用兩種方式加以表達”！筆者隱隱約約覺得它們之間有著不可言喻的共性.那么這個共性到底是什么呢？應該如何來描述呢？

筆者想到了用“對稱”這個詞來描述一題多法成因的內核，對稱不是指數學、物理等學科上的定義，而是指廣義的對稱性，即指我們關注的研究對象在解題中的地位相同、功能相似.對稱不僅是指已知條件之間的對稱，也可以指結論之間的對稱及解法之間的對稱.

比如，在案例1中線段和的問題，截長與補短在解題中地位一樣，由截長聯想到補短，能截長就一定能補短，反之，能補短就一定能截長；在案例2中，題目中出現的六個點的地位一樣，能過其中一點作平行線，就能過另一點作平行線，能過其中一點作某一方向的平行線，就能過該點作另一方向的平行線；在案例3中，我們可以把其中任意一個量用兩種方式加以表達，并用等號連接得到方程.這都是對稱思想的具體體現.

例4一艘輪船順水航行40千米所用的時間與逆水航行30千米所用的時間相同，若水流速度為3千米/時，求輪船在靜水中的速度.

分析1：本題是數學中常見的題型——行程問題，根據我們解題經驗的積累，常常是求誰設誰.

分析2：我們知道，與速度有關的量共有四個：順水速度、逆水速度、靜水速度和水流速度，而水流速度是已知的，另外三個量都是未知的，所以我們認為順水速度、逆水速度、靜水速度這三個量之間應該是對稱的，所以也可以采取如下未知數的設法.

分析3：我們知道行程問題中有三個重要的條件：路程、時間、速度.由于路程已知，所以速度和時間就是對稱的，當我們設速度為未知數時，同樣也可以設時間為未知數.因為順水速度=靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度，所以順水速度-逆水速度=2×水流速度.

分析4：我們利用對稱的思想探究了未知數設法的多樣性，從而形成了一題多法.由于應用題的求解一般是按照審、設、列、解、驗、答“六字訣”進行的，所以我們預測應用題的求解這六個步驟之間也是對稱的！

列方程實際上就是運用算兩次的思想，把題中的一個量用兩種方法表示即可！由于題目中涉及的量共七個：順水路程、逆水路程、時間、順水速度、逆水速度、水流速度、靜水速度.根據對稱性的理論，我們預測每一個量都可以用兩種方式來表示.

我們設輪船在靜水中的速度為x千米/時，則輪船在順水中的速度為（x+3）千米/時，輪船在逆水中的速度為（x-3）千米/時為例來說明這個問題，我們還可以列出下面的方程：

我們設輪船在靜水中的速度為未知數，就有法1、法5～法12共9種解法，我們還可以設順水速度、逆水速度或時間為未知數，這樣共計形成36種解法的龐大解法體系，讓我們再一次領略了基于對稱性理論指導下產生一題多法的巨大威力.

例5已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分線AD 交BC邊于點D.求證：AC=AB+BD.

分析：這是初中數學常見的截長補短的題型，這個題目比例1更具一般性，因此，筆者選用本題實施對稱思想下的一題多法的實踐.

本題主要的解法就是兩大類：截長與補短，這兩大類解法之間就充分體現了對稱的思想.

第一類：截長法（共四種方法）.

法1：最常見的解法就是在AC上截取AE=AB，連接DE，然后證明BD=CE（如圖4）.

圖4

圖5

分析1：法1中，我們是在AC上截取AE=AB，根據對稱的思想，我們能否在AC上截取AE=BD，然后證明AB= CE？所以產生法2.

法2：在AC上截取AE=BD，然后作∠ABC的平分線BM，交AD于M點，過B點作BN∥AM且BN=AM，連接AN、NE，過E點作EF∥BN，交BC于點F，最后證明AB=CE（如圖5）.這種截長法思路行得通，要證明比較復雜，圖中眾多的輔助線可以說明證明過程的艱辛.

分析2：法1和法2是從A點開始截取，根據對稱性，我們能否從C點開始截取呢？

法3：在AC上截取CE=BD，然后證明AB=AE（如圖6）.（法3也等價于作線段DC的垂直平分線，與線段AC交于E點）

圖6

圖7

分析3：根據對稱性結合法3，我們能否在AC上截取CE=AB，然后證明AE=BD？

法4：在AC上截取CE=AB，然后過D作DF∥AE且DF= AE，連接EF、FC，再證明BD=AE（如圖7）.

第二類：補短法（共六種方法）.

分析4：我們可以猜測，截長與補短在地位上、功能上是一樣的，據此，我們展開補短法的探究.

法5：延長AB到E，使BE=BD，連接DE，然后證明AE= AC（如圖8）.

圖8

圖9

分析5：法5中，我們是延長AB到E，根據對稱性，我們能否延長BA到E，使AE=BD，然后證明BE=AC？

法6：延長BA到E，使AE=BD，然后過B點作BF∥AD 且BF=AD，連接AF、EF，然后證明BE=AC（如圖9）.

分析6：法6是過B點作BF∥AD且BF=AD，根據對稱性，我們能否在線段BE的另一個端點E作輔助線呢？

法7：延長BA到E，使AE=BD，然后過E點作EF∥AD 且EF=AD，連接BF、DF，然后證明BE=AC（如圖10）.（需要說明的是F點可能在線段AC上，也可能在線段AC的上方或下方，這并不影響證明的可行性）

圖10

圖11

分析7：法5是延長線段AB，法6、法7是延長線段BA，我們能否延長線段DB呢？

法8：延長DB到E，使BE=AB，連接AE，然后證明DE= AC（如圖11）.

分析8：法8中，是從線段BD的B點向左延長，我們能否從線段BD的D點向右延長呢？

法9：延長BD到E，使DE=AB（實際上是截取），然后過E點作EF∥AD且EF=AD，連接BF、AF，最后證明BE= AC（如圖12）.（需要說明的是E點可能與C點重合，也可能在點C的左邊或右邊，這并不影響證明的可行性）

圖12

圖13

分析9：法9中，是在線段BC的上方作輔助線，我們能否在線段BC的下方作輔助線呢？

法10：延長BD到E，使DE=AB（實際上是截取），然后過B點作BF∥AD且BF=AD，過C點作CG∥BF且CG=BF，連接FD、DG、EF、FG，DG、EF相交于點O，最后證明BE= AC（如圖13）.（需要說明的是E點可能與C點重合，也可能在點C的左邊或右邊，這并不影響證明的可行性）

第三類：從角出發（共有四種方法）.

觀察前面的10種解法，都是首先基于線段長度的思考，我們知道線段的長和角是度量圖形數量關系的兩種根據，從廣義的角度來看，這兩種度量關系也是對稱的，如果我們從角的角度來看，會有什么樣的解法呢？

法11：作∠ABC的平分線BE，交AD于點E，然后作DF∥BE交AB的延長線于點F（如圖14），然后證明△AFD≌△ACD.實際上，這種方法和法5有異曲同工之妙.

圖14

圖15

分析10：法11中，是過D點作DF∥BE交AB的延長線于點F，那么能否過D點作DN∥BM交AC于點N呢？

法12：作∠ABC的平分線BM，交AD于點M，然后作DN∥BM交AC于點N（如圖15），然后證明△ABD≌△AND.實際上，這種方法和法1、法3有異曲同工之妙.

分析11：法11、法12是針對∠ABC設計的輔助線，分析重要的已知條件∠B=2∠C，從對稱性的角度思考，我們能否針對∠C設計輔助線解題呢？

法13：作∠ADE=∠ADB，交AC于點E，然后證明△ABD≌△AED（如圖6）.（與法3有異曲同工之妙）

法14：作∠CDE=∠C，交AC于點E，然后證明△ABD≌△AED（如圖6）（與法3有異曲同工之妙）

三、基于對稱視角的一題多法的再思考

由于版面所限，本文只能選取5個例題說明對稱思想指導下的一題多法的研究，根據上述例題的簡略步驟，我們有如下的思考.

1.根據對稱的思想找到添加輔助線的方法，但是解法之間的繁簡程度上是不對稱的

對于幾何題目，特別是例5，雖然我們找出了14種方法，而且全部能解，但是根據添加輔助線的繁雜程度我們可以揣測解題步驟的繁簡程度，比較簡單、常用的是法1、法3、法5、法8、法13、法14，其余都比較復雜.雖然我們能夠根據對稱的思想找到添加輔助線的方法，但是我們發現它們在解題的繁簡程度上是不對稱的！筆者認為比較簡單的解法往往吻合幾何中條件集中的原則，比較復雜的解法常常是割裂了已知條件之間的內在關聯.

我們可以借助于算法框圖展示一題多法形成的思維過程：

2.對稱是集知識結構、認知結構、思維結構和智能結構為一體的綜合成因

對稱性的視角是開啟學生解題思路之門的鑰匙，它能夠引導學生養成多層次、多角度思考問題的習慣；全面地應用知識來分析問題、解決問題；培養學生思維的靈活性、發散性、應變性和全面性.

在解決數學問題的過程中，不要奢望任意選擇一種方法都能解決問題，當解題遇到困難時，應該快速聯想到其他解題思路，從而避免思路誤入死胡同.

3.初生之物其形必丑，臻善臻美需同仁助力

本文涉及幾何和方程等兩類比較常見、簡單、典型的例題，由于版面關系，刪掉了一個代數求值的問題，而對稱理論廣泛應用還需要讀者在深入的基礎上進一步體驗.

本文的研究是拋磚引玉的探索行為，就其成果而言是一個粗糙的、前瞻性的、成長中的理論，還有很多不完善的地方，比如，條件之間的對稱性的界定，對稱性的普適性的研究等.這個理論還需要我們在解題實踐中不斷地細化、完善、發展.

參考文獻：

1.孫琪斌.從一個有趣的證法成對說起［N］.上海中學生報（中招周刊），2009-10-20（11）.

2.孫琪斌.再談“證法成對出現”［N］.上海中學生報（中招周刊），2010-11-22（11）.

3.慕學忠，王志進.探索布列方程通法的拾級歷程［J］.中學數學教學參考（中），2011（4）.

4.陳宏亮.從“學不得法”談從條件尋找思維起點——從一份七年級考卷的兩道題說起［J］.中學數學（下），2015（3）.

5.曹偉娟.從一題多解到多解歸一：解題教學的一種追求——2015年湖北武漢卷第24題解析與反思［J］.中學數學（下），2015（10）.