一道新定義考題的思路突破與教學思考

☉江蘇省如皋初級中學　季　群

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一道新定義考題的思路突破與教學思考

☉江蘇省如皋初級中學季群

關注北京市近年來中考數學試題的同行應該知道，“新定義”把關題成為地方命題特色，作為一種風向標考題，北京市各區、各校各自的期中、期末試卷的把關題也都把“新定義”考題作為一道必考題.本文選取最近北京海淀區九年級第一學期期末卷上的把關題，首先展開思路貫通，并圍繞該題給出教學設計，供研討.

一、考題與思路突破

考題：（2015-2016學年北京海淀區九年級第一學期期末數學試卷，第29題）在平面直角坐標系xOy中，定義直線y=ax+b為拋物線y=ax2+bx的特征直線，C（a，b）為其特征點.設拋物線y=ax2+bx與其特征直線交于A、B兩點（點A在點B的左側）.

（1）當點A的坐標為（0，0），點B的坐標為（1，3）時，特征點C的坐標為_______.

（2）若拋物線y=ax2+bx如圖1所示，請在所給圖中標出點A、點B的位置.

圖1

（3）設拋物線y=ax2+bx的對稱軸與x軸交于點D，其特征直線交y軸于點E，點F的坐標為（1，0），DE∥CF.

①若特征點C為直線y=-4x上一點，求點D及點C的坐標；

思路突破：對于（1），關鍵是確定a、b的值，只要把點A的坐標（0，0）、點B的坐標（1，3）代入直線y=ax+b的解析式即可求出a、b的值，從而明確特征點C的坐標為（3，0）.

圖2

圖3

圖4

②這是一個填空題，然而情況較復雜，要想獲得解答，需要深入思考，主要是a、b的取值范圍不同，有不同的構圖需要考慮.

（i）當a＜0、b＞0時，構圖（如圖4，注意：點D應該在點F的右邊，否則不能符合DE∥CF）.

圖5

（ii）當a＞0、b＜0時，構圖（如圖6、圖7）.

圖6

圖7

圖8

圖9

（iii）當a＜0、b＜0時，構圖（如圖9），容易發現，此時特征點C在第三象限，不符合DE∥CF，故此種情況舍去.

（iv）當a＞0、b＞0時，構圖（如圖10）.

圖10

二、解后回顧與賞析

這道新定義考題經過以上思路突破獲得了解答，為了避免“入寶山而空返”，下面再給出必要的回顧與賞析.

1.思路貫通的關鍵

2.數形結合的思想

除初始問題并不一定要構造出圖形輔助思考，后續問題都需要構造出恰當的圖形輔助思路，在最后一問的四種情況討論時，更是需要畫出可能的圖形，求解過程中以形助數、數形互助的求解策略體現得十分充分，值得認真體會.

3.前后呼應的設計

紅樓夢的藝術特色是“草蛇灰線，伏脈千里”，本題的幾個設問充分體現了這一藝術特色.具體來說，初始問題幫助理解新定義，接下來畫出兩個交點為后續第三問研究提供了必要的基礎，防止部分學生還不能明確兩個交點的特點；在（3）①中，先給出一個特例引路，讓點C在直線y=-4x上，幫助學生確認可能的圖像位置，與（2）中的圖像做到一次呼應；又啟發和引導著（3）②研究的路徑與方法，環環相扣，漸入佳境，易進難出，是一道不可多得的把關試題.

三、考題的解題教學設計

設想針對本題開展試題講評或以該題為例開展解題教學，以下給出圍繞該考題的解題教學的簡要教學設計.

環節（一）開課階段，熟悉“定義”

給出定義：在平面直角坐標系xOy中，定義直線y= ax+b為拋物線y=ax2+bx的特征直線，C（a，b）為其特征點.

問題1：當點A的坐標為（0，0）、點B的坐標為（1，3）時，求特征點C的坐標.

追問1：在“問題1”條件下，此時拋物線y=ax2+bx與其特征直線是否有交點？如果有，寫出兩點的坐標；如果沒有，說明理由.

追問2：設拋物線y=ax2+bx與其特征直線交于A、B兩點（點A在點B的左側）.若拋物線y=ax2+bx如圖1所示，請在圖中標出點A、點B的位置.

環節（二）運用“定義”，展開研究

問題2：設拋物線y=ax2+bx的對稱軸與x軸交于點D，其特征直線交y軸于點E，點F的坐標為（1，0），DE∥CF.

追問1：當a<0、b>0時，試寫出b關于a的函數關系式.

追問2：若特征點C為直線y=-4x上一點，求點D及點C的坐標.

環節（三）變式再練，檢測反饋

根據多年來解題教學的經驗，如果教師只是滿足于課堂上講解、啟發或部分追問一些學生的理解，則很多學生即使聽懂了，依然不會做，更不能深刻理解類似的較難試題，這里一個可行的辦法就是在講解之后，將問題做簡單的變式改編后安排學生限時再練，檢測反饋，這樣往往能取得較好的教學效果.限于篇幅，我們不給出變式題，比如將問題中的系數a、b改成“直線y=mx+n為拋物線y=mx2+nx的特征直線”就是一種可行的簡單改編，或者把后續問題的呈現臺階再次增加，比如在第三問增加“當m>0、n>0時，試寫出n關于m的函數關系式”等.

四、繼續思考

參考文獻：

1.肖維松.回到概念：解題教學的一種取向——以2014年江蘇泰州卷第25題教學為例［J］.中學數學教學參考（中），2014（7）.

2.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

3.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

4.鄧東皋，孫小禮，張祖貴.編.數學與文化［M］.北京：北京大學出版社，1999.