在“遺留問題”牽引下探索新知——以“三角形中位線”新授課教學為例

☉江蘇省如東縣豐利中學　桑圣美

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在“遺留問題”牽引下探索新知——以“三角形中位線”新授課教學為例

☉江蘇省如東縣豐利中學桑圣美

近兩年《中學數學》（下）刊發了很多關于專家教師李庾南老師課例賞析的研究文章，通過老師們對李老師課例的完整再現與跟進賞析，使得我們以讀刊這種方式親近了專家教師的課堂，收益甚大.特別在李老師諸多課例的課堂導入環節，我們注意到李老師多是以一種貼近學生最近發展區的數學現實引入新課，而少用生活現實來引入新課.這也啟發我們對數學現實引入新課的思考和實踐，近期筆者有機會在一次教研活動中執教“三角形中位線”一課，就選擇了數學現實作為一種情境導入，也取得了較好的教學效果，本文記錄這次研討活動的過程，首先，課前對教學內容進行分析，然后，對教學流程進行概述，最后，從整體上提出三點思考，提供研討.

一、教學內容分析

我們知道，平面圖形中，三角形是最簡單的，圓是最完美的.于是，平面幾何中研究三角形有奠基作用.而得到三角形的性質之后，更重要的是讓學生積累研究幾何圖形的一個范式——研究其他幾何對象都可以循著這樣的思路展開，同時還得到了一個“工具”，因為我們往往會利用三角形的性質去分析其他幾何圖形的性質.比如，以三角形的要素（三條邊、三個內角）、相關要素（高、中線、角平分線、外角等）及幾何量（邊長、角度、面積等）之間的相互關系為基本問題，從“形狀、大小和位置關系”等角度展開研究.

那么本文要探討的三角形中位線在初中教材中多是安排在平行四邊形一章之中學習，為什么在前面學習三角形時沒有順便學習呢？再往回溯源，在圖形初步一章中，曾有幾何習題安排學生畫出任意四邊形的四邊中點，并度量得到的“中點四邊形”四邊的數量關系與位置關系，可當時只是停留在操作、度量、猜想階段，還沒有給出推理.正是基于上述認識，我們選擇從七年級那個“中點四邊形”的操作度量問題引入新課，將問題轉化到研究三角形中位線，并成功解決中點四邊形這個“遺留問題”，并進一步嘗試進攻另一個“遺留問題”：三角形三邊中線交于一點！整節課就在這兩個難題的牽引下有序推進、展開教學.

二、教學流程概述

教學環節1.回顧“遺留問題1”，引出新知

遺留問題1：如圖1，取四邊形ABCD的四邊中點為E、F、G、H，連接EF，FG，GH，HE.稱四邊形EFGH為“中點四邊形”.

圖1

圖2

通過度量“中點四邊形”的四邊的長，量出∠1、∠2、∠3、∠4的度數，你有什么發現？

預設意圖：這是七年級上冊圖形初步時復習題中一道經典習題，它提示了一個奇異性質：不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形.我們已學到了平行四邊形這一章，現在是不是能解決這個問題呢？（學生獨立思考2分鐘后，估計還是不能有效突破）

教學環節2.探究三角形中位線性質，即時運用

圖3

圖4

給出三角形中位線定理的文字語言、符號表達，便于學生推證.接著安排學生完成“遺留問題1”的證明，并展示學生的解答.

練習：求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.

預設意圖：通過這個文字命題證明的練習，需要學生畫圖、寫已知、求證.反饋學生對中位線的認識，對中位線性質定理的即時運用.

教學環節3.展現“遺留問題2”，破解難題

本課之初，我們回顧了七年級畫圖度量時發現的中點四邊形的奇異性質，通過轉化為三角形中位線性質成功解決了這個“遺留問題”，其實幾何學習之路上，還有很多遺留問題，比如，三角形的三條中線交于一點，就是又一個奇異性質，我們也一直沒有給出有力的證明.現在就讓我們再接再厲，一起破解這個難題吧.

遺留問題2：證明三角形三條中線交于一點.

（學生獨立思考2分鐘后，已完成草圖分析，但估計不會有進展）

預設啟發：大家都證明過三角形三條角平分線交于一點吧，當時是如何證明的呢？（預設學生解答：先作兩條角平分線交于一點，再證這個點也在第三條角平分線上）我們是不是也可以順著這樣思考，先作兩條中線交于一點，然后設法證明第三條中線也會交于這一點呢？如圖5，設△ABC的中線AD、BE交于點Q，度量一下QD、AQ的長；再度量一下EQ、BQ的長，看看它們之間有怎樣的數量關系？（預設AQ=2DQ，BQ=2EQ）如何證明呢？

圖5

圖6

預設：根據教學經驗，至少有一半的學生理解上述思路有困難，這里適當安排優秀學生復述思路，為暫時沒有跟上理解的學生提供理解的時間.

講解：我們為了證明三條中線交于一點，卻舍近求遠，證出了兩條中線交點的一個性質，這是為什么？其實我們已很接近問題的最終解決了！如圖6，同理，我們是否也能得到CQ′=2FQ′，BQ′=2EQ′.（同學們確認后）現在請同學們思考：點Q和Q′是同一個點嗎？（讓所有學生靜靜的思考，根據教學經驗，不同的學生會有時差，慢慢等，安靜的等，此時無聲勝有聲）

過渡：補全圖形（如圖7），現在大家都確認了Q、Q′是同一個點，我們也就解決了“重心性質定理”，即三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍.該點叫做三角形的重心.

圖7

教學環節4.課堂小結與反饋練習

課堂小結：本課我們主要在解決“遺留問題”的牽引下，證明了三角形中位線，你是如何理解三角形中位線性質的？舉例說說.三角形中位線與中線有何區別與聯系？舉例說說.

反饋練習：如圖8，在△ABC中，中線BE、CD交于Q點，連接DE.

圖8

（1）當BC=8cm時，DE=_____cm.

（2）當CD=9cm時，DQ=_____cm.

（3）作射線AQ交BC于點F，交DE于點M.

①線段AF是△ABC的中線嗎？（直接回答“是”或“不是”）

②若BC=8cm，求DM的長.

三、教學立意的整體闡釋

1.在理解數學的基礎上重構教材

如上文中我們給出的教學內容分析一樣，三角形中位線為什么放置在平行四邊形一章學習，這是值得每個教師深入思考的，不僅是證明方法需要用到平行四邊形，重要的是當中位線性質定理獲證之后，之前七年級上冊出現過的“遺留問題1”（中點四邊形）就得到有力的解釋；而三角形三邊中線交于一點（重心定理）也可以得到解決，這些關聯在一起的重要性質（或說奇異性質）都會因為三角形中位線性質的解決而攻克.正是基于上述認識和理解，我們決定重構教學內容，踐行“用教材教”（鐘啟泉語），而不是“教教材”.

2.難題教學時需要教師主導啟發

看了上文的課例后，也許有人會說，這是灌輸式教學吧，一節課這么多難題和容量怎么可能實現呢？坦率地講，根據我們多年的教學經驗，如果讓學生獨立探索本文課例中提及的三角形中位線性質定理、兩個“遺留問題”，可能整節課都在消耗時間，絕大多數學生一節課也不太可能探究出一個性質的證明，而教學是要追求效率的，弗賴登塔爾也說過，教師需要給學生提供“有指導”的再創造，而不是把初始問題、原生態問題拋出來，消耗學生寶貴的課堂時間.所以，本課中對于難題破解之初，一般只是安排學生2分鐘左右熟悉問題背景，草圖分析問題結構之后，就幫助學生講解思路，啟發推證方向，在思路貫通之后安排優秀學生復述證法路徑，為理解滯后的學生贏得理解的時間.教學經驗告訴我們，這樣有層次地“幫助一部分人先弄懂”，再讓這部分“先懂者”幫助“后懂者”是有現實意義的.

參考文獻：

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4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

5.俞正強.種子課：一個數學特級教師的思與行［M］.北京：教育科學出版社，2013.H