行勝于言：命題研討重在變式改編——以兩道八年級期末幾何綜合題為例

☉江蘇省東海縣張灣中學　朱春水

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行勝于言：命題研討重在變式改編——以兩道八年級期末幾何綜合題為例

☉江蘇省東海縣張灣中學朱春水

我們知道，七、八年級期末考試通常是地區（縣、區）為單位組織命題，然而相比中考命題來看，由于研制團隊、打磨時間等諸多因素的影響，不少考題仍然有打磨優化的空間，本文梳理兩道考題的批閱手記、變式改編，最后再就命題研究提出一些初步思考，供研討.

一、兩道考題的批閱手記和變式改編

考題1：如圖1，平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0），以OA為一邊，在第四象限作等邊△OAB，點C是y軸上一動點，連接AC，以AC為一邊，在直線AC的下方作等邊△ACD.

圖1

（1）隨著點C的運動，∠ABD的大小是否會發生變化？請說明理由.

（2）是否存在點C，使得△ABD是等腰三角形？若存在，求此時C點的坐標；若不存在，請說明理由.

批閱手記：筆者訪談學生解答情況表明，在20分鐘內能完全貫通思路的不到10%，追問原因，發現不少優秀學生都是因為第一問中的線段繁多，沒有能迅速捕捉、聚焦在△ACO和△ADB，從而影響了思考的方向，在外圍轉圈子，消耗時間；第二問能給出兩解的更是少數，不少學生難以想象當點C在y軸負半軸上的圖形，從而影響了思路獲取.為了追求考題的易進難出，漸次生長，我們給出如下變式.

變式改編1：如圖2，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4，0），以OA為一邊作等邊△OAB（頂點B在第一象限），點C是y軸負半軸上任意一點，連接AC，以AC為一邊作等邊△ACD.

圖2

（1）當點C的坐標為（0，-4）時，在圖2中作出符合要求的△ACD.（要求：尺規作圖，保留痕跡，不寫作法）

（2）當點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD.

（3）設直線BD交x軸于點E，當OE=4時，求點C的坐標.

改編意圖：為了使得題干信息所對應的圖形比較簡潔，我們把等邊△ACD隱去，而安排學生在第一問中以尺規作圖的方式自主畫出，同時讓學生注意要分類討論，這事實上也是修正“考題1”中的不恰當表述“在直線AC的下方作等邊△ACD”，在幾何語句中，通常不可以描述直線上方、下方這樣的個性化語句；第二問則是限制點D出現在第二象限后，讓學生研究∠ABD的不變性；第三問則將問題放開，全面探究點C的可能位置，而又是關于兩個特殊位置的研究，如果學生在第一問就漏解，則第三問也可能會漏解，但第一、三問之間又可以互相暗示、啟發、呼應.

人文意境：一個“穩定”“向上”的等邊三角形傳遞著正能量；那個不確定的等邊三角形第3個頂點D，“上下呼應”，可不要忽視躲藏在“下面”的“D”呀，一旦解放C點在y軸負半軸的限制，很可能“谷底扎根，浴火重生”……

考題2：（2014年黑龍江齊齊哈爾，第26題改編）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，如圖3，過點A作直線MN∥BC，D為直線MN上一點，連接BD，過點D作DE⊥BD，交AC于點P.

（1）求證：BD=DP.

圖3

圖4

（2）如圖4，若DE與CA的延長線交于點P，BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由.

（3）在圖5中，DE與AC的延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結論，無需證明.

圖5

批閱手記：這道考題改編自2014年黑龍江齊齊哈爾中考數學卷第26題，占8分，據說評分標準是前兩問各3分，第三問2分.不少學困生什么都不會，只是在第二問中寫了一個“成立”，第三問中寫了一個“相等”，結果得3分；而不少優秀學生在第一問就消耗了大量精力，沒有時間再解決第二、三問，也就什么都沒有寫，也得3分.批閱的老師們都感覺到極不公平、哭笑不得.可見這道考題的兩個嚴重缺陷：第一，梯度不合理；第二，設問不恰當，導致評分不合理.以下給出變式改編.

變式改編2：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過點A作直線MN∥BC，D為直線MN上一點，連接BD，過點D作DE⊥BD，交直線AC于點P.

（1）如圖3，當點P落在邊AC上時，點D到直線AB、AC的距離_____相等；（填“一定”或“不一定”）

（2）如圖4，若DE與CA的延長線交于點P，求證：BD= DP；

（3）當點D在射線AN上時，連接BP，判斷△BDP的形狀，并說明理由.

改編意圖：雖然考題2的證明方法多樣，輔助線構造也很多，然而能順利揭示不同小問之間的關系的一種輔助線是過點D向AB、AC引垂線段，這樣隨著點D的變化，這種輔助線都可快速貫通思路，所以我們安排了第一問的填空，為的是啟發學生；而第二問繼續給出圖形，但是要證明“BD=DP”，如果善于利用第一問中的啟發就可順利求證，如果另起爐灶，也有很多思路可以貫通；第三問則沒有給出圖形，要求學生自已畫出符合要求的圖形并證明，將能力提到一定高度，實現必要的區分功能，而不是讓什么都不懂的學困生可以猜想“相等”就能拿到兩分，就數學的本質來看，“猜想”雖然是重要的，可是離開“證明”還算是數學嗎？

二、關于命題的進一步思考

1.命題工作責任重大，使命光榮，切忌原題照抄

從當前網絡上流行的很多地區的期末試卷來看，大多數地區的把關題（這里主要是指全卷的最后一兩題，用以承擔對優秀學生的區分功能）仍然是簡單的“拿來主義”或“低級改編”，甚至有不少地區是“原題照抄”，這種迎合題海戰術的原題照抄或低級改編現象是需要批判的，其導向是鼓勵本地區師生在復習備課時開展大量的練習、題海戰術，“你做得多就能碰得到原題”的命題導向一定要在命題中得到回避，這也是讓試卷公平、公正的基本保證.

2.命題工作需要修煉“三個理解”基本功

近年來，人民教育出版社中學數學室原主任章建躍博士提出的“三個理解”在教學研究、課例研究中得到普遍的重視和實踐.然而在命題工作中，還鮮有研究者從基于理解數學、理解教學、理解學生的角度開展命題研究工作，筆者認為，“三個理解”恰恰也應該是命題工作的立足點，一道試題的呈現往往反映了命題者本身對數學的理解，是追求繁雜、冗長的數學問題呈現還是簡潔大氣、自然好懂的數學問題呈現，往往反映了命題者本身的旨趣品味和價值取向.此外，像“考題2”那樣，上來第一問就是一個比較難的證明題，甚至把不少優秀學生都拒之門外的設問方式，顯然是在“理解學生”這個角度上做得不夠.章建躍博士也曾“非常肯定的”說過，“好的題目”絕不是教輔資料中匯編的各地的考題、練習，“好的題目”要追求易進難出，自然生長，簡潔好懂，值得回味等.從這個意義上說，我們對兩道考題的改編也是想倡導簡潔自然、易進難出，吸引更多考生參與進來，同時也有效避免出現“考題2”評分上的尷尬處境.

參考文獻：

1.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

2.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

3.鄧東皋，孫小禮，張祖貴，編.數學與文化［M］.北京：北京大學出版社，1999.

4.鐘啟泉.“批判性思維”及其教學［J］.全球教育展望，2002，31（1）.

5.劉東升.經歷問題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考［J］.中學數學（下），2014（4）.