對一道“新定義”型探究題的解法探析與拓展

☉浙江省紹興市柯橋區西藏民族中學　嚴浩良☉浙江省紹興市柯橋區平水鎮中　沈岳夫

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對一道“新定義”型探究題的解法探析與拓展

☉浙江省紹興市柯橋區西藏民族中學嚴浩良
☉浙江省紹興市柯橋區平水鎮中沈岳夫

《新課標》中明確指出，數學在應用方面需要大力加強，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識的形成過程.“新定義”型試題是考查學生數學能力的最好題型之一，它既能考查學生適應新問題、接受新知識、認識新事物的能力，又能考查學生的自學能力，以及信息的收集、遷移和應用能力.此類題型新穎別致，頗具魅力，已成為中考試題中的一朵奇葩，其中對新概念信息的提取和化歸轉化是求解的關鍵，也是一個難點.筆者在研究2015年各地的數學中考試卷時，發現江西省中考卷的第24題（壓軸題）是一道“新定義”型的探究題，引人入勝，探究味濃，尤其是第（3）小題，可從不同角度思考，巧添輔助線，解法多姿多彩.

一、試題呈現

題目我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如，圖1、圖2、圖3中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設BC=a，AC=b，AB=c.

特例探索：

如圖2，當∠ABE=30°，c=4時，a=_________，b= _________.

圖1

圖2

圖3

圖4

歸納證明：

（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2、b2、c2三者之間的關系，用等式表示出來，請利用圖3證明你發現的關系式.

拓展應用：

（3）如圖4，在?ABCD中，E、F、G分別是AD、BC、CD的中點，BE⊥EG，，AB=3.求AF的長.

二、解法展示

（2）猜想a2、b2、c2三者之間的關系是：a2+b2=5c2.

圖5

（3）由于E、F、G分別是AD、BC、CD的中點，因此對“中垂三角形”的觀察角度不同，可以有不同的添線方式，構造多種“中垂三角形”.現列舉如下：

思路1：通過添加輔助線，構造出△AFE是“中垂三角形”

如圖6，連接AC，EF交于點H，AC與 BE交于點Q.設BE與AF的交點為P，因為E、G分別是AD、CD的中點，所以EF∥AC.又因為BE⊥EG，所以BE⊥AC.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥ BC，∠EAH=∠FCH.

圖6

圖7

思路2：通過添加輔助線，構造出△EDC是“中垂三角形”

如圖7，連接EC，DF，由上述的解題思路，易證△DEC是“中垂三角形”，所以由（2）的結論可得CD2+CE2=5DE2，即所以CE=4，所以AF= 4.

評注：思路1、思路2所添的輔助線都是把目光盯在平行四邊形ABCD的內部，構造出“中垂三角形”.思路1側重于借用中位線和三角形全等求解，連接AC起到構造△AFE是“中垂三角形”的橋梁作用.思路2是注意到AE∥FC，連接EC，構造出△DEC是“中垂三角形”，然后獲解.當然此題還可以有其他解法，如連接AC及過點F作AC的平行線交AB于H點，構造“中垂三角形”△ABF，這一思路留給有興趣的讀者去思考.

思路3：通過添加輔助線，構造出△BCH是“中垂三角形”

圖8

如圖8，連接AC，CE，延長CE交BA的延長線于點H.在△ACD中，因為E、G分別是AD、CD的中點，所以EG∥AC.又因為BE⊥EG，所以BE⊥AC.又因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AE∥，BC =2AE，所以△HAE∽△HBC，所以所以HA= AB，AE=EC，所以BE、CA是△HBC的中線，所以△BCH是“中垂三角形”，所以由（2）的結論可得HB2+HC2=5BC2，即所以HC=8.因為AF是△BCH的中位線，所以

評注：思路3所添的輔助線是把目光盯在平行四邊形ABCD的外部，構造出“中垂三角形”.思路3是受圖1、圖2的啟發，且AE∥BC，構造出字母“A”型的相似三角形，再連接AC，可證△AFE是“中垂三角形”.同樣，此題還可以有其他解法，有興趣的讀者可去嘗試思考.可見，通過合理的構造、添輔助線可以在條件和結論之間架起一座“橋”，把一個復雜問題的條件明朗化，使問題獲得簡捷明了的解答方法.

三、拓展探究

事實上，該題第（3）問，除去“偽裝”，即摘除面紗之后，我們可發現，其實就是三角形中線定理（pappus定理，又稱阿波羅尼奧斯定理），露出了“真容”.

中線定理：三角形一條中線兩側所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍.

圖9

那么第（3）問，如果知道AC的長，則代入相關線段的值，可直接求出AF的長.那么如何求AC的長呢？

圖10

到此，通過對該題的解法探究，揭示了命題中條件與隱含條件、結論的內在聯系，為尋求解題途徑指明了方向，使得問題的解決更具有一般性，可謂別具一格.本結論（指中線定理）可作為中考題和中學競賽題方面的試題原型設置題目，靈活運用，不但可以培養學生的發散思維，而且還能開拓學生的視野，提高解題能力，對提高學生學習數學的興趣大有幫助.

參考文獻：

1.沈岳夫.一類“新定義”型的拋物線試題賞析［J］.中學數學（下），2015（9）.

2.高東.對一道經典壓軸題的探析與建議［J］.中學數學（下），2015（1）.

3.鄧文忠.中考新定義拋物線問題探析［J］.中學數學雜志（初中版），2015（2）.