搭建支架，步步登高*——基于整體建構的基本作圖資源整合教學

☉山東省濱州市北鎮中學初中部　邢成云

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搭建支架，步步登高*——基于整體建構的基本作圖資源整合教學

☉山東省濱州市北鎮中學初中部邢成云

*本文系山東省教學研究課題《全息教學論下的跨越式教學》（課題編號：pt-20120126）的延伸研究成果之一：基于資源整合教學的課堂設計.主持人：邢成云.

一、寫在前面

五種尺規基本作圖（除了最基本的作線段）分散于（人教版）教材的各個部分，跨越2章的空間，這種編排不利于培養學生的基本作圖技能，也不利于學生發散思維的培養.作一個角等于已知角的作圖是在八年級上冊第12章第37-38頁12.2的例1之后安排的；八年級上冊第12 章12.3一節第48頁的第一個思考之后，安排了角的平分線的作法；在八年級上冊第14章3.1.2的第62頁，通過例1安排了過直線外一點作已知直線的垂線的作圖；同一節通過例2安排了線段的垂直平分線的作圖.其順序是：作已知角→作已知角的平分線→過直線外一點作已知直線的垂線→作線段的垂直平分線.其中作垂線中的“過直線上的一點”安置在習題中，而這正是從角平分線到垂線作圖的引橋.通過各類作圖之間關聯的分析，筆者把這些基本作圖匯聚于連續的2節課內，先期的作圖不限制工具，當把全等三角形、軸對稱兩章知識完成后，集中安排了尺規作圖的學習.

本節以第一節基本作圖課（即完成了“作線段等于已知線段；作角等于已知角；作角的平分線”三類作圖的學習）為基，形成支架，然后循級而上，完善五種基本作圖，其中過直線上一點作垂線等價于作平角的角平分線，這就是本節課的邏輯起點，而后通過化歸將其他類型的作圖不斷轉化，直至完成基本作圖的整體模塊.

二、教學目標

（1）以角的平分線為先行組織者，探尋“過直線上一點作直線的垂線”的尺規作圖，繼而完成“線段的中垂線”“過直線外一點作直線的垂線”的尺規作圖，厘清邏輯順序；

（2）集中再現五種基本圖形的基本畫法，熟練掌握其技法，正確理解它們的作圖原理，在實際問題中能簡單地應用.

三、教學準備

每位同學準備一張練習紙，上有一個鈍角∠α（課始作圖用）和一個△ABC（以備后面的練習用）.

四、教學過程

1.抓生長點，特殊中筑起支架

設計說明：點與直線有兩種位置關系：點在直線上、點在直線外，其中點在直線上是本節課三個作圖的基點，過直線上一點作垂線，無非是揭示一般中的特殊，去作以那一點為頂點的平角的角平分線所在直線，這是學生已有的技能，這個根基穩了，其他兩類作圖的支架就搭建起來了！

師：到現在為止，基本的尺規作圖已經完成了哪些？

生：已經學會了三個：作線段等于已知線段；作角等于已知角；作角的平分線.

師：是的，我們步步推進，已經完成了三個基本作圖，請同學們打開練習紙，用尺規作∠AOB=∠α，并作出它的角平分線.

（生作圖中）

（待學生完成后，用幾何畫板演示）師：同學們思考下面的問題：若通過直線上一點作這條直線的垂線，該如何實施？請同學們先畫出已知圖觀察，看誰最先破解這個問題.

（生思考中）

生1：我知道.

（師示意生1先不要急于發言，給其他同學思考的機會）

（師巡視中發現有一半以上的同學把思路想出來了，遂示意生1發言）

生1：從圖上看就是一個特殊的角——平角，把平角平分不就出現垂線了嗎？所以我作了平角的角平分線，再反向延長.

師：其他同學的思路怎樣？

生2：和生1思路一樣，就這么想的.

師：哦，很好，說明同學們善于利用已知處理未知問題，這在數學上叫什么？

生眾：化歸.

師：是的，這就是“化歸”的作用，把過直線上一點作直線的垂線問題轉化為作平角的角平分線問題.

（接著，師用幾何畫板展示：先測量鈍角，然后拉伸，其中有一個狀態即為平角狀態，發現此時的角平分線恰好與平角形成的直線垂直）

作法歸納（圖1）：

（1）以C為圓心，適當長為半徑畫弧，交直線AB于點E、F；

圖1

（3）畫直線CD，直線CD即為所求.

2.拾級而上，開放中發現方法

設計意圖：只要把直線AB上的線段EF分離出來，立即就會發現CD就是線段EF的垂直平分線，因此，筆者通過問題引領，啟導學生觀察后發現圖中蘊含著EF的垂直平分線，然后誘導學生發現其作法，這個作法就是基于以前的經驗，當然離不開垂直平分線性質定理的逆定理的助力.

師：請同學們觀察圖1，你能發現這個圖中有哪些正確的結論？

生3：C為線段EF的中點，CD是線段EF的垂直平分線.

生4：若連接DE、DF，則△DEF為等腰三角形，滿足“三線合一”.

師：兩位同學說的都很好，誰還有說法？

生眾：沒有了.

師：就現在研究的問題，請同學們大膽設想一下，我們下一步要干什么？

生5：作一條線段的垂直平分線.

師：對，會作嗎？從圖1能獲得啟示嗎？請同學們思考.

生6：在這里，線段的中點不知道，因此，要作線段EF的垂直平分線，根據判定方法及前面的經驗，需要D那樣的點兩個，所以再找出另外一個類似的點就行了.

師：分析的非常透徹，這樣一來，剩下的任務就是找出那個類似的點，該怎么找？

生6：重復點D的找法就行.

生7：不需要，一次性畫弧就行了，在線段的上下兩方分別畫弧，兩弧就會有上下兩個交點，然后通過這兩點作直線即可.

師：請同學們判斷一下，作法是否合理？

生眾：合理不合理需要證明.

師：說得好，說明同學們有了很強的規則意識，不是看當然、想當然了，誰來說明？

生8：根據畫法，結合垂直平分線定理的逆定理，D點到線段EF兩端的距離相等，說明點D在線段EF的垂直平分線上，同理，另外一點也在線段EF的垂直平分線上，根據兩點確定一條直線可證.

師：推理充分、得體，說明這個方法可行，同學們明白這回事嗎？

生眾：明白.

師：請同學們作線段AB的垂直平分線，并梳理其作法.

已知：線段AB.

求作：線段AB的中垂線.

作法（圖2）：

圖2

（2）過C、D兩點作直線.

直線CD即為所求.

3.用好支架，遷移中破解難點

設計意圖：過直線外一點作直線的垂線，這是尺規作圖的至高點，也是難點，同時也是整節課的難點所在.通過引領學生反觀圖1和圖2，發現其中垂直的端倪，探尋出其核心在于“與直線相交的那條弧”，有了這個支架，前文的作圖之法就容易發生遷移，將難點化解.

師：過直線上的點作直線的垂線及線段的中垂線的作法解決了，還剩下哪一類問題需要解決？

生9：過直線外一點作直線的垂線.

師：是的，還有點在直線外這一類情況，試試看，你會作嗎？

生10：先通過直線外一點作已知直線的平行線.

師（追問）：平行線！怎么作？

生10：過這一點先任意作一直線與已知直線相交，然后以這一點為頂點作等于兩直線夾角的同位角.

師（作驚訝狀）：哇，這樣一來這一條直線就是原來那一直線的平行線了，我們豈不是順便發現了“過直線外一點作已知直線的平行線”這一個新的作圖嗎？這真是“得來全不費工夫”??！

（學生自發的掌聲）

師（追問）：再怎樣操作呢？

生10：接下來就是重復過直線上一點作直線的垂線的作法了.

師（面向全體追問）：這樣可以嗎？

生眾：哦，可以！

師：為什么？

生眾：通過平行線的性質“同位角相等，兩直線平行”可以證明.

點評：出乎老師的預設，沒想到學生來了這么一招，縱然這一方法比較復雜，需要作“平行線”當助力，但這是學生鮮活的思路，字字句句流瀉出思維的靈動、散發出化歸的魅力，無意中撿拾到兩顆美麗的珍珠！

師：這位同學充分利用了數學上的核心思想——化歸，把這一問題轉化成已經解決的問題來處理，值得我們學習！同學們先梳理一下這個方法，并揣摩其中的道理.

（生梳理中）

師：接下來，請同學們借助圖1、圖2繼續思考，除了這一方法，誰還有其他方法？

（生沉默）

師：我們想一想剛才作垂直的方法，其關鍵在哪里？

（生思考中，陸續有三分之一的同學舉手）

生11：找到與直線相交的那條弧.

師：噢，有了這條弧，問題就變成已經解決的問題了，可那條弧該怎么畫？

生12：隨便畫就行.

生13：不能隨便，隨便畫弧不一定能與已知直線相交.

生12：哦，對，需要能與直線相交.

師：能交只是一個定性認識，具體怎樣操作？

生13：以直線外那一點為圓心，以大于這點到直線的距離的長為半徑畫弧.

生14：那樣說還不確切，應該具體找一個點，讓這個點與直線外那一點分居直線兩旁，就能保證交點的存在了.

（生眾認可）

師：生14的想法很好，比較具體，能詳細表述一下嗎？

生14：在直線AB另一側任取一點K，以點C為圓心，以CK為半徑畫弧，交直線AB于點D、E，然后按角平分線的作法操作就行.

師：好，表達清晰，下面我們一起歸納一下這一作法.

已知：直線AB和AB外一點C.

求作：AB的垂線，使它經過點C.作法（圖3）：

（1）任意取一點K，使K和C在AB的兩旁；

（2）以C為圓心，CK的長為半徑作弧，交AB于點D和E；

圖3

（4）作直線CF.

則直線CF就是所求的垂線.

4.一圖“三線”，應用中突出核心

設計意圖：通過尺規作三角形的“三線段”，把五類作圖中的三種核心作圖全盤托出，既是對作圖的技法的鞏固，又是對三角形三線段的再認識，形成基本尺規作圖與概念的對接，明確高線是通過三角形的一個頂點向對邊作垂線而獲得的，是過直線外一點作垂線的應用；中線則通過作線段的中垂線先獲得中點，再與所對頂點連接而成，顯然是中垂線作圖的應用；角平分線就是地地道道的角平分線作圖.在實戰中見證學生的技法，同時通過口述作法鍛煉學生的語言轉換技能，和諧學生的動口、動手、動腦，一舉多得.

練習：如圖4的△ABC，用尺規分別作出BC邊上的高、∠B的平分線、AB邊的中線，保留作圖痕跡并口述作法.（說明：作法口述，需要同桌之間相互檢查）

圖4

學生利用練習紙獨立完成，筆者巡視、指點，整體完成不錯，有一小部分作高線有障礙，通過筆者和部分同學的幫扶基本達標.

（私下交流較多，限于篇幅，在此從略）

5.原理探尋，交流中建構體系

設計意圖：通過學生再次梳理與反思，環環相扣、一脈相承的五類基本作圖，自然可以凝聚成一個尺規作圖的群體，這個群體的攜手發力就可以解決相對復雜的作圖問題，為幾何學習開拓市場，為幾何由靜返動提供了可感的操作，力圖實現小結的點睛之用和凝聚之力.同時通過原理探尋，明確幾何原理，“知其然”的同時“知其所以然”，這樣作圖的根、脈、原理就厘得清清楚楚了.

師：至此，五種基本作圖基本達成！反躬自問，自己是否明白了作圖的方法及原理，它們之間是怎樣關聯的？請同學們理出一條線索把5種作圖歸納，可相互補充.

生15：整個作圖就是一個不斷轉化的過程.

師：是的，轉化是整節課的命脈，通過轉化讓我們不斷走向成功.

生16：截線段在每一個作圖中都有體現，我從作角等于已知角開始，再作這個角的角平分線，借助角平分線的作法，過直線上一點作直線的垂線，順接思路，作線段的垂直平分線，進一步過直線外一點作直線的垂線.

師：這是我們學習基本作圖的基本線索，表述的條理清晰，很好！我再提幾個問題請大家思考.作一個角等于已知角，用的是什么幾何原理？

生17：全等三角形的對應角相等.

師：你通過什么方法判斷它們全等？

生17：SSS.

師：作角的角平分線借助了什么原理？

生18：也是全等三角形的對應角相等.

師：通過什么方法判斷它們全等？

生18：也是SSS.

師：“過直線上一點作已知直線的垂線”的方法源于哪類作圖？

生19：就相當于作一個平角的平分線.

師：是的，通過“作一個角的平分線”的尺規作圖的支架作用，我們得出了“過直線上一點作已知直線的垂線”的方法.作線段的垂直平分線呢？

生20：這個復雜，可先分別連接圖2中的AC、BC、AD、BD，通過SSS證△ACD與△BCD全等，得∠ACD= ∠BCD，再證AB上的兩個小三角形全等即可.

生21：不用再證全等，直接說明DC是∠ACB的角平分線，用三線合一就行了.

生22：一個全等也不需要證，直接利用線段垂直平分線性質的逆定理就行，C、D兩點都在AB的中垂線上，根據兩點確定一條直線，CD當然就是AB的中垂線了！

（生22說完，有掌聲）

師：是的，三種方法都可行，但最簡單的還是生22的做法，我們面對一個問題既要發散思維，又要注意優化選擇思路.過直線外一點作直線的垂線呢？

生眾：證明思路和中垂線的一樣.

師：同學們一眼就看穿了，是的，觀察圖3可以看出思路與中垂線的證明一致.這樣一來，前面每一個作圖法的合情默認，其合理性在同學們的交流中得到了邏輯認證，現在我們心里踏實了，下一節我們將共同關注作圖在現實生活中的應用！

6.分層作業，保底中關注差異

必做題：

（1）整理5種基本作圖，寫出畫法，并體會每一個作圖之間的聯系.

（2）如圖5，已知點M、N和∠AOB，求作一點P，使P到點M、N的距離相等，且到∠AOB的兩邊的距離相等.

圖5

選做題：

如圖6，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠CAB=30°，用圓規和直尺作圖，用兩種以上方法把它分成兩個三角形，且要求其中一個三角形是等腰三角形（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）.

圖6

設計說明：對于選做題，采用五種尺規作圖中的作線段、作線段的垂直平分線、作角平分線、作角中任何一個基本作法都可以完成目標圖形，搭建了讓學生對每種基本作圖一個思維發散的空間，是學生復習鞏固和靈活體驗五種基本作圖方法的一個好題，但根據往年的經驗，學生大都集中于畫線段的中垂線和角平分線這兩種方法，對其他方法熟視無睹，缺乏另外的作圖意向，折射出對這五種作圖法的熟練和功能理解不夠深入，還停留在一種記憶意識與技術層面，沒深入到理性的應用意識，存在著知識的應用盲點.一旦遇到像這類作法開放的作圖題時，就會暴露出思路不開闊的弱點，因此，透視作圖的淵源，熟練每種作圖方法和澄澈作圖原理，并適度增加作圖應用的訓練勢在必行.

五、寫在后面

基本作圖的集中呈現，展現了五種作圖之間的內在關聯，打通了它們之間的橫隔，讓本來就是技能技法的教學內容，綻放出思想的花蕾、噴涌出思維的泉水.若我們停留在一招一式的技能上，縱然明其理，也弄不清來龍與去脈，彼此孤立，各自為戰，會大大削弱數學的內在魅力，基于尺規的作圖，把幾何直觀與邏輯推證拿捏在一起，展露了圖形的鮮活與靈動，增添了數學的秀色、彰顯出數學的本味！

參考文獻：

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4.朱木蘭.基本作圖［J］.中學數學教學，1995（3）.

5.張建鵬.從學生熟悉的材料開始尺規作圖的教學［J］.數學教學通訊（教師版），2011（24）.