精選“數學現實”，踐行“用教材教”——以七年級“余角與補角”教學為例

☉江蘇省南通市通州區西亭初中　邵　艷

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精選“數學現實”，踐行“用教材教”——以七年級“余角與補角”教學為例

☉江蘇省南通市通州區西亭初中邵艷

近讀《中學數學》，嚴冬梅老師在文1中對專家教師李庾南老師“余角與補角”新授課的教學設計進行了解讀和賞析，感受到專家教師辨識學段特征的功夫，同時在初中幾何起始教學階段就重視對學生的推理表達能力的訓練，讓筆者深受教益.恰好在最近一次教研活動中，筆者有機會執教七年級“余角與補角”新課，借鑒了上述課例中的很多觀點和立意，研討課取得較好的反響和好評.本文整理該課的教學設計，并整體闡釋教學立意，與更多同行分享.

一、“余角與補角”教學設計

環節1：由一組習題引入定義

開課之初，在黑板上依次畫出一條直線AB，在直線AB上取一點O，利用三角尺引射線OC使∠BOC為直角，再利用三角尺作出∠COD= 30°（如圖1）.

圖1

問題1：圖中除平角外，有幾個角？如何表示？

問題2：圖中有幾個銳角？銳角的度數有什么關系？圖中鈍角的度數是多少？

預設意圖：復習角的概念、表示法，并會利用平角、直角的關系求出其他角的度數.“問題2”為進一步定義互余、互補提供“數學現實”情境.

互余的定義：兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，簡稱互余.

講解：如果∠1+∠2=90°，就可以說∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角.如果兩個角互余，把兩個角粘在一起的話，就構成一個直角.如圖2.

圖2

互補的定義：如果兩個角的和等于一平角（180°），就說這兩個角互為補角，簡稱互補.

講解：如圖3，∠3+∠4=180°，所以∠3，∠4互為補角.∠3是∠4的補角，∠4也是∠3的補角.

注意：提醒互余、互補只是定義了兩個角度之間的數量關系，與位置關系無關.但是一些具有特殊位置關系的角，如圖1、圖2、圖4中的兩角就同時具有互余或互補的性質.

環節2：一幅三角尺擺放出的互余、互補關系

過渡語：現在同學們都知道了一幅三角尺中兩個銳角都是互余關系.下面讓我們把一幅三角尺進行如下不同的擺放（圖5～8），試分析α、β之間的關系.

圖5　

圖6

圖7

圖8

問題3：α與β一定相等的擺放方式有幾種？

預設意圖：圖6、圖7中α與β一定相等，這時追問學生推理依據.給學生寫出規范的推理語句，并總結性質：同角（等角）的余（補）角相等.

問題4：你發現上述擺放方式中的α與β還有怎樣的數量關系？

預設意圖：讓學生發現互補、互余兩種關系.特別是圖8中這種互余的關系，在后來的幾何解題中有廣泛的應用，這里需要讓學生熟悉它們互余的道理，如何推證，寫出簡單的推理語句是這里訓練的重點.

環節3：畫圖探究“雙角平分線”基本圖形及性質

圖9

畫圖：如圖9，畫∠AOB=90°，在其內部引射線OC，再用量角器作射線OM、ON，使OM平分∠AOC、ON平分∠BOC.

安排學生度量∠MON的度數并小組內核對度量結果，思考∠MON的度數與∠AOB的度數有何關系？

預設意圖：這是一個經典問題，與之前學生在線段雙中點問題中積累下來的解答經驗類似，需要學會洞察這類問題的深層結構，并學會推證結論.

環節4：課堂小結，當堂檢測

引導學生小結本課所學互余、互補的概念和性質之后，進行5分鐘的限時檢測.

二、教學立意的整體闡釋

1.精選數學現實，貼近學生最近發展區引入新課

《義務教育數學課程標準（2011年版）》倡導數學情境包括生活現實、數學現實及其他學科現實，對于初中幾何教學來說，特別是一個知識板塊中的幾何內容，注意從前后一致、邏輯連貫的角度預設開課情境.像本課余角、補角的教學，很多教材上都是從一幅三角尺中兩個銳角互余出發，引入新課，這種引入方式固然有一定的合理性，學生也能接觸互余、互補的概念.然而從幾何知識的邏輯嚴密性來看，前面剛學習線段、角的初步知識，并沒有學習三角形內角和定理，而使用三角尺來引入余角的定義顯得有些邏輯性上的缺陷.基于上述認識，我們選擇了在圖1中先畫平角、再畫直角、再畫30°角這樣漸進式畫圖的方式，呈現出一些角度之間的關系，既是對前面所學幾何內容（特別是角的表示法及度量角度等）的復習，又為定義余角提供了有效的數學情境.從這個意義上看，我們所謂的“貼近學生最近發展區”就不僅是學生已有的經驗，還需要從所教學內容的邏輯性、前后一致的高觀點來審查、取舍教學情境的預設.

2.預設畫圖活動，發展學生幾何文字語言與圖形的對應能力

本課中，我們預設了多處畫圖活動，不僅開課時由教師示范作圖，并成為開課階段的一個有效的數學現實情境；在教學環節3中，又安排學生畫一個直角的“雙角平分線”圖形，并經歷度量、驗證等環節，應該說前面的畫圖是發展學生幾何文字語言與圖形的對應能力，后面的驗證則是初步訓練學生的推理能力.根據教學經驗，一些幾何適應性偏弱的學生，常常是幾何文字語言與圖形之間的對應、轉譯能力存在障礙.一個教學現實是：不少學生面對文字命題常常表現出較低的適應性，而很多文字命題往往又會出現圖形位置的不確定性，需要分類討論.可見，幾何起始階段教學，重視文字語言與圖形語言、符號語言之間的對應或轉譯是十分重要的.

3.辨別學段特征，幾何起始教學時做好推理語句的示范與引領

初中幾何學習不同于小學圖形的學習，初中幾何主要是歐氏幾何系統，以訓練學生的邏輯思維、理性精神為主.上述學段特征明確之后，就需要排除大量現實情境的干擾，引導學生善于抽象分離出幾何圖形并初步使用推理語言進行表達、推理或說明.在上面課例中，我們在環節2中，結合三角尺擺放后出現的α、β相等的情況，引導學生從推理的角度說明，借助學生在方程學習中已有的等式性質推理說明.事實上，就后續幾何證題所需要的解題能力來看，等式性質參與下的幾何解題技能是普遍使用的，特別是在全等三角形證明過程中對于間接條件的處理.

4.注重變式設問，培養學生洞察問題深層結構的能力

在教學環節3中，通過“雙角平分線”基本圖形的研究，引導學生感受這個問題結構與之前線段學習時積累到的“雙中點”基本圖形的經驗，能培養學生洞察問題深層結構的能力.而這種深刻的洞察力、敏銳的捕捉力恰恰是后續繁雜圖形問題能否快速貫通思路的關鍵.

三、結束語

有人說，越簡單的教學內容往往越難教學.多輪循環教學之后，筆者教過“余角和補角”不下十余次，此前多是簡單照搬教材內容，照本宣科，沒有能從“教教材”走向“用教材教”.這次算是一次初步嘗試，雖然獲得聽課同行的好評，也引發一些人的議論，期待聽到更多的批判與建議，更歡迎類似案例跟進，讓“用教材教”這種教學“風氣”得到進一步傳播.

參考文獻：

1.嚴冬梅.辨識學段特征，重視推理訓練——李庾南老師“余角與補角”課例賞析［J］.中學數學（下），2015 （9）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.劉東升.辨別學段特征：初中幾何教學的用力點——以“圓（第1課時）”教學為例［J］.中學數學教學參考（中），2015（3）.