一圖一課，簡約深刻——記“反比例函數專題復習課”的教學實錄與評析

☉浙江省普陀東港中學　洪華軍☉浙江省舟山第一初中　張宏政

?

一圖一課，簡約深刻——記“反比例函數專題復習課”的教學實錄與評析

☉浙江省普陀東港中學洪華軍
☉浙江省舟山第一初中張宏政

一、引言

2015年5月26日，張宏政名師工作室第8次教學研討活動在普陀東港中學舉行.根據導師安排，筆者為全體與會教師演繹了一節“反比例函數專題復習課”，雖自感教學中還存有不少缺憾，但整體設計及教學組織還是獲得了大家的一致好評.為此，筆者把課堂教學實錄整理如下，與廣大同仁分享，也歡迎諸位同仁批評指正.

二、教學實錄

1.提供圖像線索，梳理相關知識

問題1：如圖1，根據圖像，你能得到什么信息？

師：還有嗎？

生2：雙曲線關于原點成中心對稱，且關于直線y=x和直線y=-x成軸對稱；圖像雖無限接近于坐標軸，但與坐標軸永不相交.

圖1

圖2

師：看來，同學們對反比例函數的性質都理解得不錯，若這條雙曲線經過點A（1，2）（如圖2），你還能得出哪些信息？

生眾：可求出k=2.

（學生獨立完成，小組交流討論后派組內成員上臺展示）

生3（指著屏幕上的圖像解釋道）：當x≥1時，0＜y≤2，當y<2時，x＜0或x＞1.

點評：從一道開放性的圖像問題入手，進一步賦予具體的數值，既有效梳理了反比例函數的相關知識，也凸顯了函數研究的重要方法——數形結合思想.問題2中對圖像信息的讀取既是學生的易錯點，也是后面環節中用圖像法解決不等式問題的關鍵，這里洪老師通過小組合作、學生互助、自主解決問題的方式進行，既充分貫徹面向了全體的教學原則，也充分奠定了學生的后續學習基礎.

2.突出本質特征，強化基本方法

問題3：作直線AO交另一支曲線于點B（如圖3），你又能得出什么結論？請簡述你的理由.

生4：點B（-1，-2），因為雙曲線是中心對稱圖形，因此，A、B兩點關于原點成中心對稱，所以點B（-1，-2）.

生5：可求出直線AB的解析式為y=2x.

圖3

圖4

生6：可以求出點C和點D的坐標.

師：怎么求呢？

師：唔，很不錯.在此基礎上，你們還可以得到哪些結論？

師：通過本題的解決，我們可以看到，方程、不等式與函數之間存在內在的聯系.從圖像上看，方程組的解所對應的有序數對就是函數的交點坐標；不等式的解就是函數的部分圖像所對應的x的值.因此，方程組、不等式問題除了用代數法解決，還可以用圖像法來解決.

點評：本環節一是突出圖像上點的坐標與函數解析式之間的數形轉化關系，二是旨在強化方程、不等式的圖像解法，有了前面問題2的鋪墊，學生能比較順利地解決此問題，從而使數形結合思想潛移默化地根植于學生內心，也為今后二次函數的學習打下堅實的基礎.

3.代數幾何一體，方法能力共生

問題4：如圖5，過點A、C作直線，分別交y軸、x軸于點I、J，這樣你們又能得到些什么結論呢？

生8：可以求點I、J的坐標.

師：如何求？

生8：先求直線AC的解析式，求出來是y=-x+3，再把x=0、y=0分別代入，求出I的坐標為（0，3），J的坐標為（3，0）.

師：非常不錯.進一步還能求什么？

師：剛才這位同學求△AOC的面積時遇到了一點小麻煩，現在我們都來幫他算一算.每個同學獨立完成后，請與組內成員先交流，看看方法是否一致，各學習組長整理下不同的解題方法后，請各小組派代表發言.

（約8分鐘后，各組代表分別上臺呈現了下列方法）

圖5

圖6

解法2：如圖6，分別過點A、C作AE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F.

圖7

圖8

圖9

師：同學們都表現得非常好，給出了這么多的解法.那么請大家觀察一下這些方法，它們之間有沒有什么共性？

生10：我發現這些方法其實用的都是割補法，只不過割補的方式有所不同.

師：這位同學觀察的非常到位，大家再來看看這些割補的方式，又有什么共性嗎？

生11：我發現除了第一種方法用的是兩個現成的三角形的面積之差，其余四種方法添的輔助線要么平行于x軸，要么平行于y軸.

師：嗯，觀察的非常仔細.因為坐標系中平行于x軸或y軸的線段的長度比較容易用坐標來表示，這樣利用平行于兩坐標軸的直線割補出來的圖形的面積相對而言也比較容易求.所以化斜為直進行割補是我們解決坐標系中幾何問題的一般思路.好了，既然已知反比例函數的解析式能求一些圖形的面積，那么，若已知圖形的面積，是否倒過來能求反比例函數的比例系數k呢？讓我們再看下面的問題.

幾分鐘后，巡視發現絕大多數學生還沒有解題方向.于是提醒道：既然要求k的值，那么能否用含k的代數式建立一個等量關系？請思考圖中哪些圖形的面積與k有關，哪個圖形的面積又容易用兩種不同的方法表示？

（一語驚醒夢中人，經過3分鐘左右的思考后）

生12：連接OH.

由HC=CF，得S△OFH=2S△DCF=k.

則S矩形OFHG=2S△OFH=2k.

則k+8=2k，故k=8.

變式1：如圖10，若矩形OFHG中，HC=nCF，四邊形AOCH的面積為8，求k的值.

圖10

圖11

（學生陷入了沉思中，幾分鐘后）

生14：老師，設點A（a，b），再過A、C作x軸的垂線，垂足分別為E、F，則OE=a，AE=b，再過C作CL⊥AE于L，則△ALC≌△CFJ，這樣EF=FJ，若OE=EF的話就好了，但我證不出來.

師：為你深入的思考點贊.但你既然設了點A的坐標，為什么不先試試用含a、b的代數式來表示點C的坐標呢？

師：還有不同的想法嗎？比如，能否就本圖與圖10之間進行適當的聯系？

（這時下課鈴聲卻在不經意中響起了，給本課留下了一絲遺憾）

點評：這一階段著力圍繞解析式?點的坐標?圖形面積的相互轉化關系而展開，既鞏固了前面的學習成果，又有機滲透了割補法、化斜為直、構建方程模型等重要的數學策略及基本方法.其中圍繞k的幾何意義，著力變式拓展，方法提煉，從中有效提高了學生分析問題、解決問題的能力.值得一提的是，教學中洪老師總是能留給學生充分的思考和交流的時空，以便讓學生能在操作中思考，思考中感悟，感悟中歸納，雖然課堂看上去不那么完整，留下了少許遺憾，但卻體現了常態課堂的不可預見性.

三、評析

本堂復習課，突出了本工作室一直倡導并努力踐行的“自然、簡約、大氣”的教學設計思路，以一題一課的形式展開，課堂氣氛活，思維含量足，方法落實佳，讓學生在探索中領悟方法，在過程中尋求發展，亦取得了較理想的復習效果.

1.一圖貫之，簡約自然

眾所周知，復習課的教學既要幫助學生梳理基礎知識，建立知識聯系，形成認知網絡；更要幫助學生深入體驗數學思想方法，感悟數學基本經驗，進而有效提升學生的思維能力.而要實現這些目標，就必須設計結構良好的問題系列進行有效驅動.縱觀本課的設計，洪老師以數形結合這個研究函數的重要工具為主要認知線索，以讀圖識圖為基本手段，以求解圖形面積的方法研究為重要載體，以k的幾何意義的認識深化為拓展內容，用1個圖形和5個銜接緊密的問題進行有效串聯，由淺入深，層層深入，自然生成本課的全部內容.既符合學生的認知心理，兼顧了不同層次學生的不同復習要求；也使得學生有相對充裕的時間對問題進行深入探討，讓思維在交流中得以增值，方法在比較中得以優化，數學本質在思考中得以凸顯，有效達成預期的教學目標.

2.著力方法，重視能力

數學復習課中的核心認知活動應是在知識的回顧、組織與運用中，概括、提煉思想方法與解決問題的策略，進而發展學生的思維能力.本課的教學對此的呈現令人印象深刻.一是在設計上，通過設置開放性問題，既利于全體學生積極參與，獲得不同視角下的多樣化結論，也便于學生通過對這些結論的梳理，全面掌握獲取圖像信息的方法.又如讓學生體驗方程、不等式、函數之間的內在聯系，既是學生函數學習過程中的重點，也是難點.這里洪老師先用反比例函數上定義域與值域的對應關系搭建腳手架，再過渡到兩個函數之間的大小比較，于是便生成了生7的精彩回答，有效突破了難點.二是在教學策略上，如圍繞學生提出的△AOC的面積計算時遇到的困境，沒有讓個別優生直接展示思路了事，而是在分組深入研究后，從多樣化的解題思路的比較中歸納共性，提煉方法，這樣在學生積極體驗后再滲透化斜為直的數學解題策略，就取得了較好的教學效果.三是在啟發思考上，如學生在解決問題5一籌莫展時，洪老師通過提出元認知的問題給學生提供了一般化的思考策略，從而激活了學生的思維鏈條，使學生對運用方程模型思想解決問題也有了更深刻的認知.

3.生為中心，突出自主

整堂課，洪老師按照基于學情、適度發展的原則，較好體現了“學為中心，生為主體”的教學理念.如上課伊始，先用低起點的開放性問題喚醒學生的學習心向，在滿足學生成功的學習體驗的同時，也營造了積極的學習氛圍.當部分學生解決問題存在困難時，洪老師沒有急于求成，以講代學，而是采用先獨立學習，后小組交流的方式來互幫互學，分享智慧，使合作學習真正落到實處.當多數學生思考遇到困境時，則以啟發引領幫助學生擺脫困境.當學生呈現自己一些不成熟的思路時，洪老師也沒有急于否定學生的想法，而是順著學生的想法給予恰當的點撥，從而生成了與預設不同的解法.雖然為此導致沒有完成預設的問題關聯分析，也沒有進行課堂小結，但卻真實反映了常態的課堂場景，突出了學生的學習自主性.

當然從彌補缺憾、改進教學的角度思考，或許對教學可以作如下優化.（1）去掉圖1，直接呈現圖2并提出問題1.這樣學生獲取圖像信息會更直觀具體，起點也更低些.（2）刪去問題5中的變式1，概因這個變式與原題方法一致，但涉及解含參數的方程，課標對此不作要求.這樣就可以節省出一些寶貴的教學時間.另外，在呈現問題5之前，若先引入一個已知面積求k值的簡單問題進行鋪墊，學生對問題5的解決可能更順暢，也利于學生對變式2進行分析與解決.

參考文獻：

1.張宏政，鄭偉君.凸顯函數認知線索，有效提升思維能力——一堂二次函數復習課的教學實錄與評析［J］.中學數學教學參考（中），2010（1-2）.

2.張宏政，史美華.初中數學課堂中高效教學行為的特征分析——基于一堂數學課的觀察與診斷［J］.中學數學教學參考（中），2012（3）.

3.陳建新，張宏政.讓數學探究活動更真實——記“反比例函數的圖像與性質（1）”的教學實踐與評析［J］.中學數學（下），2014（1）.