基于過程教育的“矩形（第1課時）”課例及分析

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基于過程教育的“矩形（第1課時）”課例及分析

☉浙江省寧波市華茂外國語學校顧謙勇

一、背景介紹

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標（2011年版）”）倡導過程教育，以全面發揮數學的育人功能.但在以浙教版義務教育教科書數學八年級下冊第五章第1節“矩形（第1課時）”為載體的“多人同課異構”式的教研活動中發現，課堂教學普遍與過程教育存在偏差，也沒有體現以學為中心的思想.網上查閱同類課例發現也有類似現象.鑒于此，筆者在重復式觀課與反思的基礎上，對這節課的教學進行重建，改進后的教學過程與效果得到了同仁的認可.現將其整理出來，以饗讀者.

二、教學實錄

環節1：經歷回顧并提出問題的過程——明確研究的問題

師：我們在研究三角形時，根據三角形的形狀、大小是千變萬化的這一特點，除了研究三角形的概念、性質與判定，還研究了三角形的特例以加深對三角形的認識.由于平行四邊形的形狀、大小也是千變萬化的，所以除了研究平行四邊形的概念、性質與判定，也要研究平行四邊形的特例以加深對平行四邊形的認識.

師：三角形有哪些情況比較特殊？

生1：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形.

師：不錯.其實，三角形還有許多情況比較特殊，只是這些三角形研究意義不大——其現實情景與性質不多，而等腰三角形、直角三角形有豐富的現實情景與性質.

師：類似地，平行四邊形有哪些有價值的特例呢？本節就來探討這個問題.（揭示課題）

環節2：參與定義矩形的活動——形成矩形的概念

師：現在請大家依次完成下列任務.

（1）畫圖：畫一個鄰邊長分別為1和2的平行四邊形.

（2）討論：①這樣的平行四邊形可以畫幾個？②在這些平行四邊形中，有沒有面積最大的？為什么？③這個面積最大的平行四邊形的內角有什么特點？

（約3分鐘后）

師：這樣的平行四邊形可以畫幾個？

生2：這樣的平行四邊形可以畫無數個.

師：好的.在這無數個平行四邊形中，有沒有面積最大的？為什么？

生3：有面積最大的.因為平行四邊形在變化的過程中，其高有最大值.

師：有道理.這個面積最大的平行四邊形的內角有什么特點？

生4：這個面積最大的平行四邊形的內角是直角.

師：好的.一般地，如圖1，我們把有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.例如，小學里學過的長方形和正方形都是矩形.

圖1

師：矩形有豐富的生活情景.能舉幾個矩形的生活實例嗎？

生5：書本、黑板、電視機屏幕的表面等都是矩形的形象.

生6：電腦鍵盤上的小方塊、魔方、骰子的表面等也都是矩形的形象.

師：不錯.生活中為何經常采用矩形的結構？

生7：矩形的結構具有工整、美觀、設計方便的特點.

生8：采用矩形的結構能使通風面積最大.

生9：矩形具有對稱性，能給人一種美的感覺.

師：有道理.美觀與面積最大是生活中采用矩形結構的主要理由.

師：矩形與平行四邊形是怎樣的關系？

生10：矩形是特殊的平行四邊形.

師：好的.矩形與線段是怎樣的關系？

生11：矩形可以看成是由給定條件的四條線段按一定的規則拼接出來的.

生12：矩形可以看成是由給定條件的兩條線段按一定的規則平移得到的.

師：不錯.矩形與直角三角形是怎樣的關系？

生13：矩形可以分成兩個全等的直角三角形.

生14：兩個全等的直角三角形可以拼成一個矩形.

生15：矩形可以看成是直角三角形通過中心對稱得到的.

師：好的.矩形與生活中的矩形是怎樣的關系？

生16：矩形可以看成是從矩形形狀的物體中抽象出來的.

師：不錯.由此可見，產生矩形有多種方式.

師：因為矩形是平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的所有性質，而矩形又是特殊的平行四邊形，像特殊三角形有特殊性質一樣，矩形還有哪些特殊的性質？

師（稍停頓后）：請大家先畫一個合適的矩形，再用適當的方法從矩形的邊、角、對角線等角度進行探索.（允許小組合作）

師（約2分鐘后）：誰來說說探索的方法與結果？

生17：我用觀察的方法得到：四個角都是直角；兩條對角線相等.

生18：我用測量的方法得到：四個角都是直角；兩條對角線相等.

生19：我用推理的方法得到：四個角都是直角；兩條對角線相等.

師：好的.大家用不同的探索方法得到了相同的結果.由此可以形成怎樣的猜想？

記得上四年級的時候，爸媽嫌我精力太旺盛，就給我報了個國標舞班。剛學的時候每天練功，兩條腿上各放2公斤的啞鈴或者磚頭，一開始還能拼命撐，撐個半小時已經是極限了，就開始慢慢往下滑，直到腿酸得嗷嗷直叫，一屁股坐地上。

生20：矩形的四個角都是直角；矩形的兩條對角線相等.

師：好的.猜想得到的結果不一定正確，需要用推理的方法來證明.

師：根據矩形的定義和平行四邊形的性質，容易證明“矩形的四個角都是直角”.怎樣證明“矩形的兩條對角線相等”？請大家先依次完成下列任務.

（1）根據題意畫出圖形；

（2）在圖形上標注已知條件；

（3）結合圖形寫出已知與求證.

圖2

師（待學生完成任務）：如圖2，要證AC=BD，只要證什么？

生21：只要證△ABC≌△DCB.

師：好的.要證△ABC≌△DCB，只要證什么？

生21：只要證AB=DC，∠ABC=∠DCB.

師：好的.能證AB=DC、∠ABC=∠DCB嗎？

生21：能證.因為矩形的對邊相等，矩形的四個角都是直角.

師：好的.請大家按證明的格式把證明過程完整地寫出來.

師（待學生完成任務）：這樣矩形有以下的性質.

定理1：矩形的四個角都是直角.

定理2：矩形的兩條對角線相等.

師：獲得矩形的性質經歷了哪幾個步驟？

生22：畫圖→觀察、測量、推理→猜想→證明→表達.

師：不錯.探索矩形的性質的策略是什么？用的是什么方法？

生23：策略是分類討論和從特殊到一般歸納，用的方法是觀察、測量或推理.

師：好的.證明定理2經歷了哪幾個步驟？

生24：畫圖→標注→寫已知與求證→分析→證明.

師：好的.這些數學活動的經驗以后會經常用到.

師：因為平行四邊形是中心對稱圖形，所以矩形也是中心對稱圖形.矩形是不是軸對稱圖形？為什么？

生25：矩形是軸對稱圖形.例如，如圖2，過矩形對角線的交點O作AD的垂線，因為OA=OD，OB=OC，所以垂線必定垂直平分AD與BC，所以矩形ABCD是軸對稱圖形.由此可得，矩形是軸對稱圖形.

師：好的.你運用了從個別到普遍的思想.矩形有幾條對稱軸？

生26：矩形有兩條對稱軸.

生27：若矩形是正方形，則它有四條對稱軸.

師：非常好！這樣關于矩形還有以下的結論.

矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它至少有兩條對稱軸.

師：從圖2還能發現什么？

生28：它有四個直角三角形.

生29：矩形兩條對角線把矩形分成四個面積相等的等腰三角形.

生30：相對的兩個等腰三角形全等.

生31：用矩形的性質可以證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.

師：非常好！這些結論在以后計算與證明的過程中會經常用到.

環節4：參與嘗試知識應用的活動——合作解答有代表性的問題

圖3

師：現在請大家解答下列問題.

已知：如圖3，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠AOD=120°，AB=4cm.問：

（1）△AOB是怎樣形狀的三角形？

（2）矩形對角線的長是多少？

師（約1分鐘后）：誰來回答（1）？

師：好的.誰來回答（2）？

生33：△AOB是等邊三角形且AB=4cm，所以OB=AB=4cm，所以AC=BD=2OB=8cm.

師：好的.這個矩形的面積是多少？

師：好的.若∠AOD=90°，則對角線的長是多少？

師：好的.解題后對給定問題作進一步探索是研究數學的基本經驗.

（接下來，要求學生完成課本中的練習題，并在學生完成任務后進行交互反饋與評價）

環節5：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考.（1）本節課研究了哪些內容？我們是怎樣研究的？（2）產生矩形有哪幾種方式？矩形的本質特征是什么？

（3）矩形有哪些性質？獲得矩形的性質經歷了哪幾個步驟？

（4）證明矩形的性質經歷了哪幾個步驟？你對矩形有何感觸？

其次，教師組織學生交互反饋，同時教師邊傾聽、邊評價.

第三，在此基礎上，教師總結本節課的研究內容、研究方法及研究意義.

三、教學分析

矩形可以看成是從生活中抽象出來的，也可以看成是數學自身邏輯的產物.盡管產生矩形有多種方式，但采用演繹方式能體現教材意圖和類比思想.矩形的數學本質是其內角是直角，其研究內容主要是組成要素之間的關系，其知識“生長點”是長方形與正方形的概念、平行四邊形的知識等.矩形是平面幾何的重要研究對象，它與線段、三角形、平行四邊形等有密切關系；矩形的性質是基礎知識，它在幾何計算與證明中會經常用到；研究矩形概念采用的從一般到特殊的策略及從特殊到特殊和從特殊到一般的方法，研究矩形性質采用的分類討論的策略及從特殊到一般的方法，對后繼學習有指導作用.獲得矩形概念的過程和蘊含的從特殊到特殊與從特殊到一般思想，認識矩形與相近概念之間的關系和生活中為何經常采用矩形結構的過程，探索與證明矩形性質的過程和蘊含的從特殊到一般思想及研究幾何圖形性質的數學活動經驗，用矩形性質解決具體問題的過程和蘊含的演繹思想等，這些對發展學生的智力、能力、個性有積極作用.但“課標（2011年版）”對“矩形”提出的教學要求是“理解矩形概念及其與相近概念之間的關系，探索并證明矩形的性質定理”.目前在這節課的教學中普遍存在的問題是：（1）經歷回顧并提出問題的過程缺失，而是直接創設畫圖情境或實驗情境，總給人有知識從天而降的感覺；（2）獲得概念之后反思矩形與相近概念之間關系的過程缺失，導致學生對矩形概念達不到理解的程度；（3）探索并證明矩形性質的過程不規范——沒有引導學生經歷必要的思維站點，導致不能滿足學生感悟思想和積累經驗的需要.本課例根據“課標（2011年版）”提出的教學要求和教材的意圖，將其教學立意于“類比、感悟、積累、發展”，并以教材提供的題材為載體，從學生已有的知識與經驗出發，運用演繹和分類的思維策略、從特殊到特殊和從特殊到一般的思維方法及教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式，引導學生經歷完整的認知過程.在“回顧并提出問題”的教學中，既有回顧研究三角形思維結構的過程，又有通過類比提出問題的過程，以揭示新舊知識之間的內在聯系和激發學生的學習興趣.在“定義矩形”的教學中，既有“畫圖、推理、定義”的過程，以形成矩形的概念，又有獲得概念之后的反思，以認識矩形與相近概念之間的關系.在“探索矩形的性質”的教學中，既有“畫圖、定向探索、猜想、證明”的過程，以形成矩形的性質，又有獲得性質之后的反思，以感悟其蘊含的研究幾何命題的數學活動經驗和揭示矩形的其他性質.在“嘗試知識應用”的教學中，既有學生自主實踐與思考的過程，又有交互反饋與評價的過程，以鞏固知識和發展智慧技能，還有解決問題后的變式與拓展，以感悟研究數學的基本經驗.在“回顧與思考”的教學中，既有教師價值引導下學生的思考與交流，又有教師的總結性講解.這體現了過程教育和以學為中心的思想，也遵循了導入性教學、概念教學和圖形性質教學的基本規范，能全面發揮其育人功能.

由此可得，對從上位概念中演繹出來的概念的教學，要引導學生經歷演繹的過程（從一般到特殊演繹或從特殊到特殊演繹），要有思維與思想的內化過程；對圖形性質的教學，要引導學生經歷“探索→猜想→分析→證明→表達→反思”的過程.這樣能使學生在高情意學習氛圍中，理解和掌握數學的知識與技能，體會和運用數學的思想與方法，積累數學活動的經驗，發展能力和形成敢想、敢說、敢于創新的良好個性.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.范良火.義務教育教科書·數學（八年級下冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.