新舊人教版“有理數的乘法”教材比較分析

筅四川省瀘縣教研室　金　俊

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新舊人教版“有理數的乘法”教材比較分析

筅四川省瀘縣教研室金俊

新人教版教材（2012年6月第1版，以下簡稱新教材）在“有理數的乘法”這一節內容的編排上與舊人教版（2007年3月第3版，以下簡稱舊教材）有很大的區別，可以說是“另起爐灶”完全不同.現就新舊兩個版本的教材內容加以比較分析.

一、導入語的變化

舊教材的導入語是“我們已經熟悉正數及0的乘法運算，引入負數以后，怎樣進行有理數的乘法運算呢？”

新教材的導入語是“我們已經熟悉正數及0的乘法運算，與加法類似，引入負數后，將出現3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）這樣的乘法.該怎樣進行這一類的運算呢？”

新教材增加了“與加法類似”，一方面，從學生已有的知識、經驗入手找到了新知識的“生長點”，學生易理解、接受；另一方面，也向學生滲透了“類比”的數學思想方法.

新教材將舊教材籠統的“有理數的乘法運算”具體為“3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）”等乘法算式，更具體，目標更明確.且一個式子代表一種類型：3×（-3）代表正數乘負數，（-3）×3代表負數乘正數，（-3）×（-3）代表負數乘負數.

二、法則探索過程的變化

1.舊教材

如圖1，一只蝸牛沿直線爬行，它現在的位置恰在直線l上的點O.

圖1

（1）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？

（2）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？

（3）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？

（4）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？

為區分方向，我們規定：向左為負，向右為正，為區分時間，我們規定：以前為負，以后為正.

（1）3分后蝸牛應在l上點O右邊6cm處（圖2），這樣可以表示為（+2）×（+3）=+6；①

圖2

（2）3分后蝸牛應在l上點O左邊6cm處（圖3），這樣可以表示為（-2）×（+3）=-6；②

圖3

（3）3分前蝸牛應在l上點O左邊6cm處（圖4），這樣可以表示為（2）×（-3）=-6；③

圖4

（4）3分前蝸牛應在l上點O右邊6cm處（圖5），這樣可以表示為（-2）×（-3）=6.④

圖5

觀察①～④式，根據你對有理數乘法的思考，填空：

正數乘正數積為______數；

負數乘正數積為______數；

正數乘負數積為______數；

負數乘負數積為______數；

乘積的絕對值等于各乘數絕對值的______.

有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.

任何數與0相乘，都得0.

……

由上可知，舊教材借助數軸，通過蝸牛在直線上運動的實例來研究有理數的乘法.書中研究了4個問題：第一個問題，正數與正數相乘，用以前所學的知識容易理解；第二個問題，類比有理數加法的講法，向右為正，向左為負，不難得出負數與正數相乘的結果；第三個問題，不僅規定了向右為正向左為負，還規定了以前為負以后為正，這是一個關鍵點，學生比較難理解；第四個問題，有了第三個問題作鋪墊，繼續第三個問題的思路，第四個問題就比較好理解了.

縱觀舊教材有理數乘法的探索過程，它的優點是：用蝸牛在直線上運動的實例來研究有理數的乘法，化抽象為直觀，非常符合初一學生的年齡特征和認知特點.它的不足有：一是規定多.如規定“向右為正，向左為負，以前為負，以后為正”，有學生提出“為什么不直接規定出有理數的乘法法則”.二是頭緒多.一會兒向右，一會兒向左，一會兒現在以前，一會兒現在以后，容易把學生搞糊涂.三是法則的得出牽強附會，說服力不足.分別只用了一個式子就得出“正數乘正數積為正數；負數乘正數積為負數；正數乘負數積為負數；負數乘負數積為正數”，編者的用意在于通過實例用不完全歸納法得出有理數乘法的法則，推理方法是合情推理，但實例太少不足以服人.

2.新教材

思考：觀察下面的乘法算式，你能發現什么規律嗎？

3×3=9；

3×2=6；

3×1=3；

3×0=0.

可以發現，上述算式有如下規律：隨著后一乘數逐次遞減1，積逐次遞減3.

要使這個規律在引入負數后仍然成立，那么應有：

3×（-1）=-3；

3×（-2）=_______；

3×（-3）=_______.

思考：觀察下面的算式，你又能發現什么規律？

3×3=9；

2×3=6；

1×3=3；

0×3=0.

可以發現，上述算式有如下規律：隨著前一乘數逐次遞減1，積逐次遞減3.

要使上述規律在引入負數后仍然成立，那么你認為下面的空格應填寫什么數？

（-1）×3=_______；

（-2）×3=_______；

（-3）×3=_______.

從符號和絕對值兩個角度觀察上述所有算式，可以歸納為：正數乘正數，積為正數；正數乘負數，積是負數；負數乘正數，積也是負數.積的絕對值等于各乘數絕對值的積.

思考：利用上面歸納的結論計算下面的算式，你發現有什么規律？

（-3）×3=_______；

（-3）×2=_______；

（-3）×1=_______；

（-3）×0=_______.

可以發現，上述算式有如下規律：隨著后一乘數逐次遞減1，積逐次遞減3.

按照上述規律，下面的空格可以各填什么數？從中可以歸納出什么結論？

（-3）×（-1）=_______；

（-3）×（-2）=_______；

（-3）×（-3）=_______.

可以歸納出結論：負數乘負數，積為正數，乘積的絕對值等于各乘數絕對值的積.

一般地，有理數的乘法法則為：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數與0相乘，都得0.

……

可見，新教材對有理數乘法法則的得出與舊教材完全不一樣，它是通過三個“思考”，從學生熟悉的正數和0的乘法運算出發，引導學生找規律，猜想出正數與負數相乘，負數與負數相乘，負數與0相乘的運算法則.這樣設計找準了新知識的“生長點”，且強調了新的運算法則是在原有運算規律仍然成立的基礎上得出來的.

三個“思考”是循序漸進的.第一個思考算式左邊都是3×□的形式，先讓學生根據已有知識概括規律，然后在“要使這個規律在引入負數后仍然成立”的引導下，給出3乘一個負數的結論.在此基礎上，后兩個“思考”就可以讓學生通過模仿獨立解決了.第二個“思考”解決之后，教材進行了小結，歸納出正數乘正數、正數乘負數、負數乘正數三種情況的結論.然后通過第三個“思考”，先運用得到的結論解決（-3）×正數的問題，得出規律后，再解決（-3）×負數的問題，并進一步歸納出“負數×負數”的運算結果.

三、新教材建議

（1）新教材在第一個和第二個“思考”中用“要使上述規律在引入負數后仍然成立”的語句，有老師反映在邏輯上講不通，給人的感覺成了不是要去發現正數與負數相乘、負數與負數相乘的規律，而是用正數與正數相乘的規律去硬套正數與負數、負數與負數的乘法，筆者也有類似的感覺.教材之所以要用這樣的語句是為了強調有理數乘法法則其實是一種規定，給出這種規定的原則是“使原有的運算律保持不變”，只有這樣才能使數學的發展建立在原有的基礎上.但這樣就導致了邏輯上的不順暢，筆者建議把“要使上述規律在引入負數后仍然成立”改為“按照上述規律”，這樣在邏輯上就比較順暢了.

（2）新教材第一個和第二個“思考”的內容編排不科學，影響了思維的連續性.以第一個“思考”為例，第一個“思考”的“3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×0=0”與“3×（-1）= -3，3×（-2）=______，3×（-3）=______”之間插入了一段文字，這種編排方式不利于學生自覺地把上下式子聯系起來考慮，從而給思維造成了障礙，建議可將中間那段文字放到右半邊，把上下式子靠近.第二個“思考”也可這樣處理.

教材是教學的材料，教學設計必須符合學生的實際.編得再好的教材，都不可能完全適應每個教師、每個學生，因此教師在教學中既要尊重教材，但又不能拘泥于教材，要根據學生的實際情況靈活處理，大膽地對教材加以整合，這樣的教學才是最有效的教學.