注重知識本質，加強生活聯系——人教版“數軸”賞析與思考

☉江蘇省海門市四甲初級中學　秦　燕

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注重知識本質，加強生活聯系——人教版“數軸”賞析與思考

☉江蘇省海門市四甲初級中學秦燕

筆者有幸認真觀看了中國數學會于2015年11月在黃山組織的全國性觀摩課視頻，對其中一節(jié)人教版“數軸”課印象深刻，現從看課角度對該課的思路進行整理，并提出一些個人的想法，與各位同行交流探討.

一、教學分析與教材分析

數學是一門培養(yǎng)學生思維、發(fā)展學生思維的重要學科，因此，在教學中，不僅要使學生“知其然”，而且要使學生“知其所以然”.

“數軸”是人教版數學七年級上冊第二章的內容.本節(jié)是在引進了負數及分析了有理數的分類后給出的.從知識上講，數軸是初中數學學習和研究的重要工具，它主要應用于有理數的大小比較，相反數、絕對值概念的理解，有理數運算法則的推導及不等式的求解.同時，也是以后學習二維的平面直角坐標系的基礎.從思想方法上講，數軸是初中數形結合的重要體現，而數形結合是學生理解數學、學好數學的重要思想方法.數軸是直觀表示數的一種方法，在數字問題和生活實際中有著廣泛應用，掌握好本節(jié)內容對今后學習和生活有著積極意義.所以本節(jié)課的教學重點是：數軸的概念和畫法，并能利用數軸比較有理數的大小.

由于數軸重要的工具性特點及數軸的抽象性，因此，本節(jié)課的難點為：數軸的建模過程，以及建立有理數與數軸上的點的對應關系.

根據本課內容特點，本節(jié)課主要通過啟發(fā)引導學生來進行探索，所以盡力給學生營造“可探索”的環(huán)境，使學生積極參與，互相討論，一步步地掌握數軸的概念，并通過練習，使學生更好地理解數軸，從而體會數形結合的思想.同時采用多媒體輔助教學，以多媒體手段為驅動、以問題為載體，給學生創(chuàng)設一個寬松、愉悅的學習氛圍，引導學生積極探索、體驗成功.

二、教學流程簡錄

環(huán)節(jié)（一）創(chuàng)設情境，引入新知

1.復習舊知

提問：上節(jié)課，我們學習了一類新的數——負數，這樣就可以用正數和負數表示具有相反意義的量，從而數的范圍就擴大到有理數范疇.那么有理數如何分類呢？

2.情境引入

【情境一】

圖1

以海平面為基準，珠穆朗瑪峰高出海平面8844米，吐魯番盆地低于海平面155米.若記海平面為0米，則珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地的高度是多少呢？如何用圖形表示呢？

【情境二】

小明從學校門口出發(fā)，向東走50米到達書店，向西走300米到達家.如果規(guī)定向東為正方向，向西為負方向，則小明從學校出發(fā)，書店記作什么？家又記作什么？如何用圖表示？

圖2

圖3

【情境三】

你能讀出圖3中溫度計上的示數嗎？（學生很容易讀出示數，但要注意刻度的示數左右均有）

仔細觀察溫度計的構造，有什么特點？（讓學生回答，相互補充）

有一個起點或基準點；

有正負兩個方向；

刻線都是等距的，每相鄰兩個刻線之間表示的都是1度.

3.歸納共性

【想一想】

以上三個圖有什么共同特征？

學生先獨立思考，然后四人一小組討論歸納，再派代表發(fā)言，各組相互補充.

都用一條直線來表示位置、高度或溫度；

直線上都有一個起點或基準點（0米，0攝氏度）；

都規(guī)定了正負方向；

要準確表示必須有刻度.

環(huán)節(jié)（二）類比歸納，提煉概念

【問題1】能否也用一條直線來表示有理數呢？

根據三個實例圖的分析，讓學生抽象出沒有實際背景下的正數、負數、0的表示.

直線上要有一個0點；

要規(guī)定一個正方向；

還要有刻線，相鄰刻線等距且意義相同.

這樣的一條直線就是我們今天要學習的數軸.

（教師板書：數軸）

【問題2】到底什么是數軸呢？

一般地，畫一條水平的直線，在直線上取一點表示0（叫做原點），規(guī)定直線上向右的方向為正方向，選取某一單位長度，這樣的直線就叫做數軸.

實際上，數軸就像是一個橫放的溫度計.

環(huán)節(jié)（三）理解概念，辨析概念

【問題1】如何畫一條數軸？

根據概念學生自主完成，兩位同學板演，最后同桌兩人相互檢查.

圖4

原點（0）：一般居中；

正方向（向右）：右端標箭頭；

單位長度：適當，短線，標數.

【問題2】下列哪些是數軸？哪些不是？為什么？

圖5

環(huán)節(jié)（四）應用概念，數形轉換

【想一想】建立了數軸，我們就可以用數軸上的點來表示有理數了.如何來表示一個有理數呢？

（1）0在數軸的什么位置？正數呢？負數呢？

（2）整數怎么表示？

（3）分數怎么表示？

（4）任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示嗎？

整數可以用數軸上的刻度點來表示，正整數在原點右側，負整數在原點左側；對于分數，可以先找到與它相鄰的兩個整數點，再等分成幾份，找到相應的位置.

結論：正數在原點的右側，負數在原點的左側.每一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示.

【做一做】

例1畫出數軸，并用數軸上的點表示下列各數：

讓學生在自己剛畫的數軸上繼續(xù)找各個點的位置.

圖6

思考：在數軸上表示一個有理數時，應注意什么？

先畫數軸（完整、適當）；

再找位置（定左右、定距離）；

最后描點、標數（實心圓點、上方標記）.

點撥：數→點（形）.

例2如圖7，數軸上A、B、C、D各點分別表示什么數？

圖7

思考：數軸上的每個點都對應一個有理數嗎？有理數能填滿整個數軸嗎？

數軸上的每個點不一定對應有理數，可能還有無限不循環(huán)小數.所以有理數填不滿整個數軸.

點撥：點（形）→數.

環(huán)節(jié)（五）深化概念，比較大小

【議一議】

數軸上的兩個點，右邊的點表示的數與左邊的點表示的數有怎樣的大小關系？

可實時引導學生類比溫度計上的實際意義來比較數的大小.

圖8

結論：數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大；

正數大于0，0大于負數，正數大于負數.

思考：你能否將例1中的各數用“<”連接呢？

引導學生借助剛才數軸上各點的位置來比大小.

三、設計說明與教學反思

1.學生是課堂的主人

這節(jié)課屬于概念課，數軸這個概念也是中學數學中數形結合的起點.在這節(jié)課中，執(zhí)教者能緊緊抓住“數軸的概念”這一重點，從實際出發(fā)，創(chuàng)設情境，通過對三個具體問題的體驗和感知，讓學生先形成感性認識，再通過類比歸納，提煉共性，得到本質特征，從而形成數軸的概念；得到概念后，先讓學生根據自己對概念的理解畫出數軸，借助對學生出現的錯誤的糾正，更加深了對數軸三要素的認識，調動了學生探究問題的積極性和主動性；在數軸上表示有理數時，先提出幾個問題，將正數、負數、0及整數、分數的表示分別思考探究，既滲透了分類討論的方法，也體現了理論為先的思想，接著讓學生動手去表示具體的有理數就成水到渠成的事情了.

本課重視數學概念的產生、發(fā)展、形成過程，恰當推遲數學概念得出的時間，讓學生體驗火熱的數學研究過程，最終“數軸”概念的獲得水到渠成.教學活動更好地體現了新課程的理念，不僅提高了課堂教學的效果，而且讓學生學會了如何學習.整節(jié)課結構清晰、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，能關注學生的情感，注重調動學生學習的積極性和主動性，同時體現了數學思想方法的滲透，是一節(jié)成功的概念課教學的案例.

2.課堂指向是學生的思維發(fā)展

本節(jié)課的教學設計是：以啟發(fā)式教學為主，從教科書中的情境出發(fā)，引導學生通過觀察、轉化、類比、比較、分析等思維活動，把實際問題抽象成用“直線、點、距離等”描述的圖形.借助負數概念引入過程中用正數和負數表示“相反意義的量”的經驗，來規(guī)定在0的左、右兩邊分別用負數和正數表示，自然引出數軸概念.所以在教學中，為了讓學生感受引入數軸的意義，形成數軸的概念，一方面要運用直觀生動的形象素材和問題情境，引發(fā)學生的探究興趣；另一方面要創(chuàng)造條件和機會，讓學生發(fā)表見解并及時地表揚鼓勵，充分發(fā)揮學生學習的主動性.為了使學生充分理解數軸的三要素，利用自主思考、動手操作、相互檢查、圖形辨析等環(huán)節(jié)，充分調動學生的積極性.在理解數軸上的點與有理數的關系時，引導學生首先明確有理數的分類，發(fā)現還有一類數——無限不循環(huán)小數也應在數軸上，從而建立了點與有理數并非一一對應的關系.

3.數學本質的挖掘應站在生活實踐之上

本節(jié)課的主要內容是數軸的概念和用數軸上的點表示有理數.數軸是初中數學中的一個核心概念，它是我們研究相反數、絕對值、有理數運算法則等的圖形分析工具；借助數軸的直觀性表示不僅可以加深對正數、0、負數的認識，而且還可以幫助我們進一步分析、理解相關數學問題；通過對點在數軸上運動的研究，可以推導出有理數的運算法則；利用數軸上表示數的特點來確定有理數的大小和不等式組的解集.數軸作為分析、研究數學問題的工具，不僅揭示了其內在的數形結合思想，而且也為研究數學問題提供了新的方法，為今后建立平面直角坐標系及其運用打下了堅實基礎.從總體看，這樣的教學活動設計，能讓同學們結合學習探究，對數學來源于生活又服務于生活有了更進一步的認識.通過探究活動，讓學生親身體驗數學概念的形成過程，既鍛煉了學生的抽象概括能力，又感悟了“數形結合的思想”.從教學設計的角度，任課教師將學習任務與教學內容很好地整合在一起，內容的設計一方面放在了學生的“最近發(fā)展區(qū)”內，是學生熟悉的生活背景；另一方面，該項學習任務又有一定的探究性和挑戰(zhàn)性，體現了新課程的理念，一切為了學生的發(fā)展.從教學實施的角度，學生成為課堂教學的主體，而教師又體現了主導作用.整節(jié)課始終以問題串的形式進行啟發(fā)教學，層層推進，學生在思考和討論中不斷獲得有用的信息.從具體到抽象，在通過類比、歸納來形成概念的同時，還注重對概念內涵的探究及概念的辨析，并在“用數軸上的點直觀表示有理數并比較大小”的應用中，使學生體會到了學習數軸的必要性和重要性，感受到“數學來源于生活又服務于生活”的數學應用價值.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大出版社，2012.

2.范良火.義務教育教科書.數學（七年級上冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.