數學問題教學的五個探索點

方均斌，梁 凱，朱 玲

（溫州大學 數學與信息科學學院，浙江 溫州 325035）

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數學問題教學的五個探索點

方均斌，梁 凱，朱 玲

（溫州大學 數學與信息科學學院，浙江 溫州 325035）

摘要：隨著提問、說題、講題等一些話題的延伸，很多圍繞數學問題的教學形式研究已經擺到日程上來．目前，數學問題教學過程中有5個探索點需要數學教師特別關注：選題、顯題、變題、鏈題、戀題，即：重新審視數學問題的題源，關注數學問題教學中的呈現策略，對學生進行數學問題變化訓練，讓學生把相關的數學問題進行必要的鏈接，加強學生對數學問題解決的反思教學活動．

關鍵詞：問題選擇；問題呈現；問題變化；問題鏈接；問題情結

中國目前在問題教學中出現了諸如提問、說題、講題等一些動態研究的積極發展態勢，盡管中國在數學問題教學方面號稱“解題王國”，但受應試教育、具體教學操作約束、傳統觀念等影響，使一些亟待研究的話題還沒有引起人們足夠重視．為了更好地提高數學問題的教育效果，目前中國數學問題教學中的選題、顯題、變題、鏈題、戀題5個探索點亟待開發．

1 選 題

與相對比較成熟的問題解決層面研究相比，中國基礎教育階段的數學問題選題工作至少有以下3方面亟待完善．

首先，目前中國數學問題解決僅針對“‘沒有毛病’的數學問題”，使得學生對問題的批判意識普遍削弱．例如，2003年江蘇省高考數學題的第一個數學考題引起了很大爭議[1]，由于該題是選擇題且位于整個卷面的首位，一些數學成績不錯的學生“紛紛中招”．從這個問題可以看出，學生對錯題幾乎沒有“免疫力”．因為，目前給學生所解決數學問題的一個大前提是所給的問題條件很少出現“殘缺”、“冗余”甚至“矛盾”等“錯題”現象[2]，學生對出現這些現象的數學問題處理的批判性意識很差[3]，幾乎毫無“心理防備”，有學者曾經對此提出自己的擔憂，認為一些現實問題信息的“抽絲剝繭”任務絕大部分被數學家或者教師完成了，“錢學森之問”的困局或許就在于此[4]．也就是說，教師目前給學生解決的問題好比讓他們“消化”的是“精糧”而非“粗糧”，這對他們的“消化功能”提高不利．因此，適當的時候可以出一些“錯題”使學生在解決過程中提高審題能力，增加他們的批判性意識，如一個極端的例子“船長年齡問題”．在歐洲，流傳著這樣一個笑話：“一條船上有75頭牛，32頭羊，問船長幾歲？”法國的一份調查報告顯示，有64%的學生給出了“答案”：75-32=43歲．華東師大的張奠宙教授在中國一些中小學做了同樣的測驗，得到上述答案的學生比例竟高達92%，甚至在上海市某重點中學的高三年級，也有10%的學生如此作答[5]．經調查，大部分學生對在平時的練習中適當放個別錯題讓學生辨析這一做法持支持的態度[3]．

其次，即使是“正確的”數學問題，也只關注能夠“有評價標準”的那些封閉題或者部分開放題，一些無法采取評價標準的數學問題（開放題）由于難以成為試題而淡出教師的教學視野．有研究者認為，根據教材設置一些難度適中，具有可研究的開放題是實施教學內容開放的有效手段[6]．其實，盡管像張奠宙教授等一些學者呼吁讓“開放題教學”成為“家常菜”[7]，但就目前的情況來看，效果并非理想，問題解決方法發散性、創新性的培養策略受到了應試教育的限制．

第三，中國數學教學由于應試的影響，與實際情境掛鉤的數學問題明顯偏少，雖曾經一段時間關注應用題的教學，但后來因應用題在考試中出現了諸如選題背景要公平[8]、學生認知條件（如：生活經驗等）等原因，使應用題的教學也受到了一定的局限．

選題是問題教學的起始點，新加坡的著名數學教育家李秉彝先生在談論數學教學的時候，寓意深刻地指出：吃什么比怎么吃更重要，意在強調數學內容選擇的重要性．中國數學問題的題源由于與實際問題聯系欠缺并且要求問題“不能出錯”且有“評價標準”，使得學生在數學問題解決過程中固守于某些套路或者模式，思維的培養途徑窄化．這種現象的根本原因在于中國考試文化的負面影響．有學者通過研究認為：從某種意義上講，“考試文化”深刻烙印學生而扭曲自己的信念而改變行為[9]．其實，根據觀察，教師的信念及相應的行為也會受“考試文化”負面影響的，因為常聽到數學教師的觀點：“高考怎么考，我們就怎么教．”因此，建議教師不能只盯住考試題目類型，在平時選題時，必須擺脫傳統觀念的束縛，拓寬題源，適度組織一些諸如數學建模、出“錯題”[3]、解決無絕對評價標準的開放題等活動，可以讓學生了解數學問題的來源以及培養他們數學問題原始信息捕捉及處理能力，提高他們的創新意識和能力．

2 顯 題

選題觀念拓寬是一方面，隨之而來的問題是：如何將所選問題以恰當的形式展示在學生面前？那就是第二個話題：顯題．顯題是指數學問題信息呈現的策略研究．這個話題在課堂教學實踐中也不太引發教師的注意，一個數學問題經教師選擇后該以怎樣的信息呈現順序以達到完美的教育功能？

學生平時接觸到的往往都是紙質信息媒介（紙質課本及練習），數學問題的信息呈現“一目了然”．但是，現代數學教育常采用多媒體信息技術，由于它具有信息呈現的播放功能，教師可以設置數學問題信息呈現的不同方式，以增加或開發數學問題的教育功能．對此，研究者曾經撰文探討，主要觀點是根據教學需要對例題信息進行逐步呈現以發掘數學例題的教育功能[10]．

其實，這個思想可以延拓到其它數學教育過程．一個數學問題往往具有題設（條件）和欲求（結論）部分，不同的呈現策略可以增加不同的教育功能．以課堂教學中的數學問題為例，從大的方面來說，數學問題可以按照題設（條件）信息和欲求（結論）信息分先后呈現，中間穿插教師的口語或體態語言信息．如，呈現問題條件信息后，教師輔之以口語“根據問題的條件，你能夠得到什么結論？”同樣，呈現欲求（結論）信息后，教師問“根據問題的結論，你認為，需要補充什么條件？”

從小的方面說，數學問題千差萬別，為實現教師的教學意圖，完全可以按照一定的順序呈現部分信息并輔之以口語及體態語言信息等，把封閉的數學問題變得開放．如，有不少的數學問題包括圖形信息，可以先呈現圖形信息后，教師提問：“根據這個圖形，你能夠提出什么問題？”也可以先呈現文字或者符號信息后問：“根據問題的條件和結論，你能夠作出需要的圖形嗎？”等等．這樣，能夠使數學問題從原先的封閉、一元到開放、多元，擴大其教育功能．

如果數學問題用以練習，教師完全可以按照課堂教學的程序把一個數學問題出成“半拉子題”，把教師原先準備用以輔助教學的口語用文字呈現，如，原先準備用“冷冰冰”的“已知A，求證：B”改為“根據條件A，你覺得結論B可能成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由”，甚至改為“A是B的什么條件？請說明你的理由”等．

如果數學問題用以測試，則根據需要把數學題以不同的信息呈現，如有些選擇題，可以去掉選支信息而成為填空題等，也能夠體現一些測試功能和意圖上的變化．

顯題是問題教學展開的第一步，它的呈現策略是實現策略性教育功能聚焦的一種手段，有時不需要刻意去尋求所謂的“開放題”[11]，也不必拘泥于課本例題的“一覽無遺”，只要在問題信息呈現策略上“動一些腦子”．當然，顯題過程中教師的附加信息也很重要，帶有啟發式的提問、微笑的表情、期待的眼神等，都在某個程度上激發學生對問題本身的興趣．

數學問題信息呈現是一項教師的教學藝術，是引導學生思維從發散到收斂的過程，可以提高數學問題的教育價值，可以在實現教學意圖上做更多的工作，而且還可以把其思想推廣到其它教學環節．例如，一節課的課題呈現時機如果把握得好，可以讓學生從思維定勢中汲取教訓和提高他們對這節課學習意圖的理解；一個數學結論的信息呈現順序如果構思精妙，可以提高學生的發現意識和能力；一張試卷的試題適度排序，可以把考核學生對知識、技能和能力掌握情況的工作做得更好一些，等等．

3 變 題

顯題是對現有問題在信息呈現策略上改變使之教育功能發生變化，而“變題”則是指數學問題的變式．“變式教學”是中國數學教學中的一個傳統，也是一大特色，備受廣大一線教師的推崇與青睞[12]．應該說，教師在變式教學上所花的精力比較多，變式教學之所以受到重視應該與考試文化有關，因為不少試題都是命題人員絞盡腦汁對包括課本在內的數學問題進行的變式，自然促進授課教師在平時教學也進行變式．變式教學的“掌控權”基本上在數學教師手里，教師“我想變，就變”，固然，教師根據自己的教學意圖掌控變式教學未嘗不可，但在學生的眼里，有時摸不清教師變的意圖和變的手段，讓他們處于一種被動狀態，他們思維主動性受到不利的影響．

首先，要讓學生進行“要我變”的訓練，即：教師拿出一個數學問題，問學生：“針對這樣的數學問題，你準備怎樣將其進行變化，而成為另外的一個數學問題？”讓學生變題可以訓練他們的類比、歸納、聯想等一些命題變化的基本技能，甚至可以在變化的過程中發現一些有趣的數學問題，既提高了學生學習數學的興趣，也為他們認清一些數學問題的來龍去脈，從而提高問題解決的參與感，為數學教師提供源源不斷的數學問題研究素材，一舉多得．例如，學生是通過一個實際情境問題來學習平方差公式的[13]，但在后續學習完全平方公式，教材又設置一個實際情境．強調數學與實際情境的聯系并無異議．但這里缺失了一個“要我變”的訓練，即對學生提出：“對公式(a+b)( a-b)=a2-b2，你能不能進行一些變化而得到其它等式？”甚至問學生：“針對這個公式，你有什么問題可提嗎？”

其次，在學生“要我變”的基礎上，讓學生主動地產生“我要變”的欲望．學生拿到一個數學問題，解決完后往往沒有再思考諸如：“這個問題的條件要是變一下，會得到什么結果？”“根據這個問題的條件，還能夠得到什么結論？”等問題．例如，在一張試卷的最后采取開放式加試題：請你針對本卷中的任何一個問題進行變式，使之成為一個有趣的或者比較有意義的數學問題，并給出你的解答或發現、建議等．讓那些應對考試能力“綽綽有余”的學生“有事可干”，而這些優質學生恰恰需要培養他們的發現能力，何樂而不為？只要長期堅持，這種測試導向往往會使學生特別是那些優秀學生針對數學問題產生“我要變”的意識．

第三，教師要對學生進行一些數學問題變化技能的訓練和探討，即對學生進行“如何變”的教學，教師不僅是在學生面前展示“教師變題的成果”，而且要顯示變題的過程與方法．這樣，既增強了“變”的意識，也提高了“變”的技能．例如，對學生實施4種數學命題之間的變化（指原命題、否命題、逆命題、逆否命題之間的變化）而進行的提問訓練，還有諸如類比、歸納、實驗、猜想等，也可以創設一種讓學生產生數學問題變化的欲望情境等．如：勾股定理a2+b2=c2（其中，a，b，c分別為直角三角形的兩直角邊和斜邊），教師可以把學生已經知道的結論“a+b＞c”挪在一起，問學生：“根據我們所知道的這兩個式子，你能夠提出什么問題？”以期引發學生探究“an+bn”與“cn”的關系問題．甚至，教師完全可以針對勾股定理設置要求學生對其進行變化的更開放問題：“針對勾股定理，你能否將其條件或者結論進行變化，使之成為另外一個數學問題？”余弦定理或許將納入學生的視野，盡管余弦定理屬于“高中數學教學范疇”，但初中生能夠自己提出這樣的問題，是初中數學教學的一個“可喜成果”．

教師把數學問題的“變式”掌握在自己的手里很可能基于這樣的兩個顧慮：一是考試中并沒有考學生的變題技能，教師所變的問題一般經過自己的“篩選”后才展示在學生面前的，這樣可以“掌控教學”；二是萬一學生變題中出現了自己解決不了的問題，很可能導致教學的“失控”，怎么辦？

可以這樣認為，變題是問題教學的高潮．盡管中國對數學問題的變式教學比較重視，也取得了一些豐碩的實踐性成果．但在“為什么要變？”“如何變？”“何時變？”“誰是變的主體？”等方面的研究確實存在短板現象．讓學生從學會解題到學會變題，從“要我變”到“我要變”，讓學生從被動的解題者到主動的變題者，讓“應變能力”不再停留在“應付變的能力”，而是一種“應該變的能力”，進而形成一種主動求變的良好意識，這是創新性人才培養的必然訴求，也是今后很重要的一個數學教學發展研究領域．

4 鏈 題

數學問題解決中的遷移，很大程度上依賴于問題之間的抽象關系[14]．變題是將問題“打散”的過程，讓多如牛毛的數學問題成為“一盤散沙”絕不是我們教育工作者的本意，變題之后的一項舉措就是要引導學生認清不同數學問題之間的關系，“鏈題”工作自然納入研究者的視野．研究者查閱到的提及“鏈題”一詞最早的一篇文獻 “鏈題——高考復習數學的有效途徑之一”[15]，但該文及后續文獻中對“鏈題”概念并無明確界定．鏈題主要有兩個層面的含義：一是指數學問題與其它問題的鏈接，也就是把相關數學問題從知識、條件、結論、命題變化、思想方法等方面進行鏈接；二是指一個數學問題與諸如教材等學習材料中的相關知識鏈接．

鏈題是問題解決者對命題者意圖猜測及尋求這個問題源頭的一項舉措．也是提高學生數學問題解決綜合能力的一種重要手段．

加強鏈題訓練，可以提高學生問題解決的能力．因為，學生通過顯題后很可能就會聯想到之前解決過類似的數學問題，從而提高問題解決的效率．同時，鏈題訓練，可以讓學生在知識、思想方法上對已經解決過的數學問題系統化，這也是一種數學知識、思想方法的有效梳理手段．

加強學生的鏈題訓練方法：一是在解題過程進行知識、思想方法鏈接．如：“之前我們曾經見過類似的數學問題嗎？”“這個數學問題牽涉到哪些知識？”“這個問題你準備嘗試哪些方法？這些方法以前在解決其他問題時的成功率是多少？”等，從而啟發學生通過鏈題達到對相關知識方法復習鞏固的目的，提高了數學問題解決的成功率．二是問題解決成功后進行的鏈接．如：“這個問題可以與之前的哪些數學問題一起歸類？請說明你的歸類理由．”“請你把課本里面的數學問題進行必要的歸類，并說明你的歸類理由．”等，這樣的鏈接往往能夠使學生把問題解決系統化，做到既見樹木又見森林，完善其認知結構．

鏈題是問題教學的整合，將一題一題的教學，從知識與方法上串合起來，像一顆顆珍珠串成美麗的珠鏈．在問題教學如此普遍的今天，這項工作也應該引起廣大教師的關注．

5 戀 題

前面討論了數學問題教學應該引起大家注意的4個方面，但還有一點更需要教師注意，那就是對數學問題的情感．數學情感需要培養，數學所蘊涵的深刻文化內涵需要數學教育工作者們去發掘、去創造、去推陳出新[16]，引起聯想的是“戀題”二字．研究者查到提及“戀題”的文獻是一位考生的咨詢[17]，該文所提“戀題”大意是學生考試時老是對之前某個未解決的數學問題“耿耿于懷”而影響了其它問題的解決．與此負面提法相反，這里所提的戀題概念是指當學生解決（完）一個問題后，對問題進行反思和回味，顯示出對已經解決的數學問題的一種“依依不舍”心態．這種心態可以引領學生對問題解決過程進行認真總結，揣摩編題者的意圖，為編題者的精妙構題而“拍案叫絕”．根據了解，一些學生對數學問題采取的態度是做一題拋一題，使自己深陷題海而迷失數學問題解決之根本目的．導致他們往往對數學問題感情淡薄甚至“恨之入骨”，體會不到編題者的“苦口良心”．

戀題可以分為問題未能夠解決和能夠解決兩種情況．

如果學生在平時學習中對某個數學問題由于解決不順而戀戀不舍，不言放棄，這絕對是一個好現象，教師只要適度指導，此類學生肯定“大有前途”．但因遇到一個難題而影響其它問題的解決或者缺乏整體的學習規劃，則需要在學習策略上進行必要的指導甚至進行心理疏導．

與因問題解決遇到不順情況相比，學生如果能夠在問題解決后還繼續保持一種割舍不下的心態而對其進行研究，這應該是數學問題教學的“理想狀態”．

首先，戀題讓學生問題解決后不急于拋棄，而是認真總結和反思，把握問題解決的根本規律，并且對自己在解決過程中出現的相關知識和方法進行回顧，與其它問題進行必要的鏈接，能夠達到做一題而對相關內容融會貫通的目的，增加了問題解決的收獲．

其次，戀題也是揣摩命題者意圖的過程，通過戀題，往往能夠使學生有針對性地進行相關的復習，查漏補缺．

第三，戀題不僅是問題解決、揣摩命題意圖的過程，而且還帶著欣賞的眼光看待數學問題，拉近學生與命題者的心理距離，培養學生問題解決的積極心態，提高學生的數學學習興趣．

戀題是需要教師積極引導的，在諸如試卷點評課等對數學問題解決的相關教學過程中，數學教師往往只停留在問題解決答案、方法層面，很少對數學問題采取欣賞性總結．戀題工作主要有：一是引導學生對數學問題進行評價．如：“你認為這組（個）數學問題命題者的意圖是什么？”“這些（個）問題命題者是如何構思出來的？”“這些（個）問題的精彩地方在哪里？”“這份試卷有哪幾個問題是最漂亮的？請你說說理由．”等，在平時的作業布置上增加對數學問題的評價這一要求．二是組織學生進行說題或者講題，說題、講題是近幾年在中學悄然升起的一種教研活動，盡管目前還沒有一種有關說題、講題相關概念及它們之間嚴格界定的權威文獻．但，糧草未到，兵馬先行，很多數學教學實踐都是這樣展開的．站在不純粹是為了問題解決的角度去審視數學問題很值得嘗試．這種嘗試不應局限于教師之間，也可以在教師與學生、學生與學生之間進行[18]，在說題或者講題過程中可以加強學生對數學問題評價和理解訓練．三是在必要的時候，教師可以進行戀題示范，讓學生慢慢學會如何戀題以及如何在戀題過程中增加一些收獲．四是讓學生提出以自己命名的猜想，然后根據問題的“質量”給予評價（例如，只能夠難倒自己的賦予一顆星，把全班同學難倒的賦予兩顆星，把授課教師難倒的賦予3顆星；以此類推．還可以根據難倒的時間長短進行“二級評價”），把這些“難題”或者“猜想”掛在班級、學校宣傳欄甚至網站上，在學生中形成戀題風氣．如果一位學生提出一個以自己命名的難題，在這位學生就學期間內，將包括老師在內無人解決，絕對可能讓這位學生甚至所有師生對這個問題“終生難忘”．戀題是問題教學的延伸與深化，陳景潤就是在他的老師引導下，對哥德巴赫猜想“戀上一輩子”．

問題教學是數學教學的核心，其過程是一個有機的整體．這個“整體”中的“5個探索點”需要教師投以更多的關注．值得指出的是，這“5個探索點”之間并非獨立的，而是存在一定的關系，而且，5個探索點之“排列組合”將產生針對數學問題教育的眾多探索話題，非一文所能解決．寄希望大家對這些問題進行必要的探索．如，選題中如果注意適度出現一些“錯題”以及原始數學問題情境，可以促進學生的變題、戀題意識．加強戀題、鏈題、變題、顯題等教學也往往能夠幫助學生認清一些數學問題的源頭和本質，不被千差萬別的數學問題所迷惑，做到“以不變應萬變”．又如，“顯題”工作似乎只是教師教學中對問題信息顯示的教學策略，但如果教師在顯示過程中“附加信息”運用得當，絕對可以讓學生產生變題欲望以及產生“鏈題”和“戀題”效應，甚至對“選題”產生濃厚的興趣，等等．其實，如果引導學生關注數學問題的來源，也很自然地涉及戀題、鏈題、變題、顯題及選題這5個環節．所以，平時教學不應讓學生的視野僅局限在問題解決層面，應該讓他們開始關心數學問題的來源，與命題者進行“對話”，提高批判性意識和創新精神．

［參 考 文 獻］

[1] 孫新峰，孫展．江蘇省“高考錯題”風波[J]．新聞周刊，2003，（30）：36-37．

[2] 方均斌．例說“錯題”及其教育功能[J]．數學通報，2006，（5）：54-56．

[3] 方均斌．數學信息處理的批判性意識的調查與思考．數學教育學報，2010，19（1）：48-50．

[4] 陳清梅，鄔瑞光，邢紅軍．追尋“錢學森之問”[J]．教育科學研究，2012，（12）：38-42．

[5] 劉靜波．繁雜與復雜[J]．未來教育家，2013，（Z1）：104．

[6] 杜慶宏．開展高效數學教學的行動研究[J]．數學教育學報，2007，16（3）：40-43．

[7] 張奠宙．讓“開放題教學”成為“家常菜”[J]．數學教學，2004，（1）：封底．

[8] 任子朝．創設應用情境考查學生素質—談高考數學應用題的考查[J]．中學數學教學，1998，（1）：1-2，6．

[9] 肖春梅，喻平，顏麗增．高中生數學認識信念的現狀及對學習的影響[J]．數學教育學報，2010，19（5）：87-89．

[10] 楊秋紅，方均斌．數學例題的信息呈現方式及其教育功能的發掘[J]．數學通報，2013，（12）：35-38．

[11] 方均斌．用開放的眼光審視數學題[J]．數學教學，2002，（5）：19-22．

[12] 阮偉強．走出“變式教學”的三個誤區[J]．數學教學研究，2013，（9）：55-57．

[13] 范良火．義務教育教科書（數學，八年級上冊）[M]．杭州：浙江教育出版社，2012．

[14] 喻平．加工水平對具有廣義抽象關系數學問題遷移的影響[J]．數學教育學報，2005，14（3）：5-8．

[15] 陳文遠．鏈題——高考復習數學的有效途徑之一[J]．新疆教育，1995，（4）：209-217．

[16] 沈亞軍．略論數學教育情感領域教學目標[J]．數學教育學報，2003，12（1）：33-36．

[17] 田中偉．幸福信箱[J]．高考金刊（理科版），2012，（5）：65．

[18] 周俊敏．初中數學“說題”的探究[J]．中國科教創新導刊，2013，（6）：31．

[責任編校：周學智]

Five Exploring Points in Mathematics Problem Teaching

FANG Jun-bin, LIANG Kai, ZHU Ling
(Wenzhou University, Zhejiang Wenzhou 325035, China)

Abstract:With the extensions of topics such as questioning, narrating problems, explaining problems, many instructional mode researches centering on mathematics problems has been put on the agenda.We think that there are currently five exploring points that we mathematics teachers need to pay particular attention to during the process of mathematics problem teaching, namely selecting, presenting, changing, linking and reflecting topics, which means reexamining the source of our mathematics problems, focusing on the presenting strategies of mathematics problems, letting students do variant training, making necessary links on related mathematics problems and strengthening reflective teaching activities on solutions of mathematics problems.

Key words:selecting; presenting; changing; linking; reflecting

作者簡介：方均斌（1964—），男，浙江洞頭人，教授，碩士生導師，主要從事數學學科教學論研究．

基金項目：2013年浙江省高等教育課堂教學改革研究項目——基于中小學教師參與實時互動的《數學教學論》課堂教學改革（kg2013366）

收稿日期：2015–10–09

中圖分類號：G420

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）01–0047–04