用GeoGebra探索阿基米德拋物線弓形面積

李忻桐　吳華

摘 要： 在信息技術、知識和探究性學習的框架下，本文從信息技術詮釋數學的視角出發，借助Geo Gebra軟件對數學問題進行探索，通過電子數據表格對探究過程中每一步變化的記錄、分析、測量、猜想研究阿基米德拋物線的弓形面積。

關鍵詞： Geo Gebra 拋物線弓形面積 微積分

動態幾何軟件作為教學發展的推動者，可應用于創新型、問題解決型、開放型及一些非常規型數學問題的探究。其在探索過程中可以記錄關鍵要素的發展過程，輔助學生思維，通過探索發現規律，在動態下觀察數學現象，發現結論，及時驗證。《數學新課程標準》提到：信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容及教學方式產生很大影響。數學課程的設計與實施應根據實際情況合理地運用現代信息技術。因此，數學教學內容必然會隨著信息技術與課程的整合進程和需要而呈現多樣化的發展狀態[1]。

阿基米德在《拋物線的求積》中用兩種方法證明了拋物線弓形的面積等于頂點與弦所構成三角形面積的三分之四這一結論，一種是窮竭法，另一種是杠桿原理的力學方法[2]。之后很多人用不同方法證明過這一結論，但都由于方法復雜而不適合課堂教學。本文在阿基米德原有命題不變的前提下，利用阿基米德的方法用三角形不斷“窮竭”弓形面積，借助Geo Gebra軟件對阿基米德拋物線的弓形面積進行探究。

一、動態幾何軟件介入探索拋物線求積問題

（一）創設情境，提出問題。

阿基米德拋物線的求積問題是經典性歷史命題，在學生學習了極限和等差數列之后，微積分初步之前，借助Geo Gebra軟件在問題情境中通過運用已學過的知識讓學生了解微分積分的實際背景，直觀體會微分積分基本思想，幫助學生理解微分積分的概念，激發學生對后續微積分知識學習的興趣。

（二）利用Geo Gebra軟件探究問題。

在學生目前所學習的范圍內并沒有接觸到求曲線面積的公式，以阿基米德“窮竭法”的思想為探究基礎，引用文[3]中的數學例子。在Geo Gebra軟件中繪制任意以C為頂點，AB為弦的拋物線，此時△ABC面積在A1中顯示，即a=15.625，如圖1所示。

通過Geo Gebra軟件給出的猜想結合等比數列求和公式以及極限思想，得到與阿基米德相同的結論：拋物線弓形的面積等于頂點與弦所構成三角形面積的四分之三。回顧探索過程，先將不可求的弓形面積逐漸用小的可求的三角形填滿，再將這些小的可求的三角形面積累加進行求和。這其實就是微積分的思想，將不可求量拆分成小的可求量（微分思想），再將這些小的可求量累加進行求和（積分思想）。可見就在牛頓和萊布尼茨爭論誰先創造了微積分時，阿基米德已早他們兩千多年就有了微積分思想的萌芽。只是那時阿基米德還沒有極限的思想，他并不認為當n趨近于“無窮大”時，內接多邊形的面積可以等于弓形的面積。在阿基米德看來，這二者之間的面積差是永遠存在的，只不過它可以“任意小”，所以阿基米德避開了這個問題，使用窮竭和反證的方法得到結論。

二、教學反思

通過對阿基米德“拋物線求積問題”的探究，發現動態幾何軟件在數學教學中有以下優勢。

（一）精確性與美觀性。

如果在傳統教學環境中不借助于動態幾何軟件本節課是很難完成的，教師手動在黑板上繪圖并不精準且影響美觀，而動態幾何軟件以精準美觀的制圖帶給學生的直觀視覺更有助于對問題本身的探究，并提高探究的準確性。

（二）實用性與省時性。

Geo Gebra軟件同時具有代數問題幾何化和幾何問題代數化的功能，能在動態過程中保持圖形性質并能實時顯示出圖形的數量關系。Geo Gebra軟件有強大的數形結合功能，可以同時結合幾何、代數、電子數據表格對探索中的每一步變化進行記錄，而電子數據表格代替了冗長的手工推倒過程，在探索過程中把學生的興趣集中在問題本身而不是淹沒在繁雜的計算中。同時傳統教學中的板書，通過動態幾何軟件的介入都可以在備課環節中完成，大大節約課堂時間。

（三）引起教學方式的變革。

動態幾何環境推動了探究式學習的發展，給教師和學生都提供了活動平臺，使學生的學習過程成為教師引導下的“再創造”過程。數學中的不少內容是抽象的，譬如微積分概念的理解，用傳統的教學方法很難解釋清楚，而用動態幾何軟件，學生一看就能觀察出動態逼近的數學本質。這樣，抽象的內容變得更為形象、更為直觀，若沒有計算機軟件的介入，類似內容的處理只能是說教式的[4]。這樣直觀的教學可以提高學生學習數學的興趣，充分發揮其主動性。所謂“工欲善其事、必先利其器”，恰當使用動態幾何軟件進行教學會達到事半功倍的效果，也會大大提高教學質量。

參考文獻：

[1]尚曉青.論信息技術與數學教學整合的過程[J].電化教育研究，2013（1）：86.

[2]T.L.希思.朱恩寬，李文銘，譯.阿基米德全集[M].陜西科學技術出版社，1998.

[3]Gunhan Caglayan，Exploring Archimedes Quadrature of Parabola with GeoGebra Snapshots[J].Tech Know Learn，2014，101-105.

[4]張景中.三款數學教育軟件的比較與設計思想分析[J].中國電化教育，2010（1）：107.