從教材習題淺談定義法求點的軌跡方程

劉剛

求點的軌跡方程時，對明顯蘊含幾何條件，如動點與定點、定直線間的等量關系滿足圓錐曲線的定義，則可以直接用定義法先確定軌跡類型，再寫出方程，下面從教材習題入手淺談一下定義法求點的軌跡方程.

一、課本題目

1.人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1，P49第7題

如圖①，圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓上任意一點. 線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點Q在圓上運動時，點 的軌跡是什么？為什么？

思路：解題時弄清條件總蘊含的幾何關系，利用其幾何特征寫出等式，使問題簡化.

解：如圖②，連接QA、OA. 由已知，得|QA|=|QP|.

所以，|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.

又因為點A在圓內，所以|OA|<|OP|.

根據橢圓的定義，點Q的軌跡是以O，A為焦點，r為長軸長的橢圓.

2.人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1，P62第5題

如圖③，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點，P是圓上任意一點. 線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

解：如圖④，連接QA、OA. 由已知，得 .

所以，.又因為點A在圓外. 根據雙曲線的定義，點Q的軌跡是以O，A為焦點，r為實軸長的雙曲線.

二、高考鏈接

2013年新課標全國卷Ⅰ，理20題. 已知圓M：，圓N：，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；

解：由已知得圓M的圓心為，半徑；圓N的圓心為，半徑.

設圓P的圓心，半徑為R. 由動圓P與圓M外切并且與圓N內切，得. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓（左頂點除外），其方程為.

變式：將本題中圓M，圓N的方程變為“圓M：，圓N：”，其余條件不變，求C的方程？（答案： .）

解題時根據幾何條件產生的相關有利結論，縮減過程，多思少算，若動點與定點或定直線滿足圓錐曲線的定義，可直接寫出方程，再判斷曲線上的點是否都滿足題意.

參考文獻：

[1]劉紹學.普通高中新課程標準試驗教科書數學選修2—1（A版）〔M〕.北京：人名教育出版社，2005：49、62.