數值積分算法研究

尹雪紅

【摘 要】本文介紹了求解數值積分的復合求積公式，并將龍貝格算法進行改進，并用MATBLE對三個公式進行編程，在精度及算法上進行了比較，并制作出用戶圖形可視化界面。

【關鍵詞】龍貝格算法；復合辛普森公式；復合梯形公式；MATLAB

一、復合求積公式

當積分區間[a，b]較大時，直接使用牛頓-柯特斯公式所得積分近似值的精確度是很難得到保證的。因此，在實際應用中往往采用復合求積的方法，如；復合梯形公式，復合辛普森公式，龍貝格算法。這幾個公式具有更大實用價值的數值積分公式。

（一）復合梯形公式介紹

復合梯形公式：. 若將所得積分近似值記為Tn，并令則上式即為：

，

若f（x）在積分區間[a，b]上分別具有二階，四階，六階連續導數，則復合梯形公式的余項為：， 其中， 且當h充分小時，有 .

（二）復合辛普森公式介紹

仿照復合梯形公式推導過程可得復合辛普森公式即：

.

若f（x）在積分區間[a，b]上分別具有二階，四階，六階連續導數，則復合辛普森公式的余項為 ， 其中， 且當h充分小時，有.

（三）龍貝格求積法公式的簡化

一般地為了便于上機，記 。

記號：其中k代表積分區間的二分次數，m代表近似值所在序列的性質。引入上面的記號后，龍貝格算法可統一表示成

二、龍貝格算法改進

龍貝格算法是在積分區間逐次分半的過程中，對用復合梯形法產生的近似值進行加權平均，以獲得準確度較高的近似值的一種方法。但是如果用的最佳一致逼近多項式來代替被積函數可能會得到更高的數值積分計算公式，本文就是在此思想的基礎上對拋物差值預處理法作了改進，從而得出了比龍貝格算法及拋物差值預處理法更高的方法。

首先，給出最佳一致逼近多項式的依據性定理

（二）數值分析

從上表可以看出，龍貝格算法其實是在復合辛普森公式遞推的基礎上生成的一種精度高，而且收斂速度也比較快的一種算法。而改進的拋物插值法比龍貝格法和拋物插值法在相同的計算步數下精度都要高，至于拋物插值法和改進的拋物差值法第四步的誤差變大是由舍入誤差引起的。

四、結束語

本文講了三個求積公式：復合梯形公式，復合辛普森公式，龍貝格算法，它們的共同點都是等距節點下的求積公式。復合梯形公式和復合辛普森公式與龍貝格算法相比較，雖然其精度通常較差且計算工作量較大，但由于使用方便，在計算積分近似值時，也常常用到它們。最后得出改進的拋物插值法比龍貝格法和拋物插值法在相同的計算步數下精度都要高。

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