k—分塊循環矩陣的一些性質

.引言及定義

循環矩陣是一類具有特殊結構的矩陣，它在編碼理論、數理統計、數字圖像處理等學科中都有非常廣泛的應用。本文將對k-分塊循環矩陣的一些性質進行討論從而得到相關的結論及定理。

定義1 設，稱分塊矩陣為由所生成的階-分塊循環矩陣，記為，其中。特別地，當， 為分塊循環矩陣。當，為分塊反循環矩陣。

定義2 設，在上述定義中若取，稱為-分塊循環矩陣，記為。特別地，當時，為-分塊循環矩陣。當時，為一個分塊循環矩陣。當時，為一個分塊反循環矩陣。時，為-循環矩陣。

定義3 若，即 則稱為一個-分塊循環子。

由的定義可推出以下結論 記

則⑴

⑵ 其中為任意整數 ⑶

2.定理及其證明

定理2.1 設，，則有。

證明，

， ……

故 。

定理2.2 （非奇異）的充分必要條件是。其中為k-分塊循環子。

證明 必要性 設 則

則 。

充分性 若 設 則

可以驗證

所以。

定理2.3設，如果則。

證明由， 則定理2.4 設是的特征方程的特征根，是矩陣k的全部

特征值。則 ⑴ ⑵

⑶ ⑷ 。

證明 令

， 則可驗證⑴⑵兩式成立。

⑶ 因為

。

⑷ 。

定理2.5 設， 則

。

證明由定理2.5

=

=。