簡易邏輯不簡易

高中新教材開設(shè)了簡易邏輯基礎(chǔ)知識，這對于增強學(xué)生的邏輯思維能力，增強學(xué)生的辯論水平是大有裨益的。然而教參中明確地說明只學(xué)一些基本的邏輯知識，要求不高，從而導(dǎo)致學(xué)生乃至一些教師，對一些較為復(fù)雜的邏輯問題總是搞不清，錯誤常常見諸于作業(yè)與報端。

有人說“可以被5整除的數(shù)，末位是0”不是命題，主要理由是：若“可以被5整除的數(shù)，末位是0”是命題，如果是假命題，那么它的非：“可以被5整除的數(shù)，末位不是0”，也是假命題。這與邏輯上“p與非p的真值表”矛盾。

我認為這種說法是錯誤的。毋庸置疑：“p真，非p一定假；p假，非p一定真”。問題出在哪呢？實際上，命題“可以被5整除的數(shù)，末位是0”的非不是命題“可以被5整除的數(shù)，末位不是0”。那它的非是什么呢？這要分析原命題的內(nèi)涵，以及日常生活中的語言的理解。常常有“都是”、“全是”，在日常語言中卻變成了“是”；“都不是”、“全不是”等同于“不是”。此題就是如此。

“可以被5整除的數(shù)”描述的是一個集合，這個集合是{5，10，15，20，……}。原命題就相當于“{5，10，15，20，……}中的元素末位是0”，這實質(zhì)上是說“{5，10，15，20，……}中的元素的末位都是0”或者說“對于集合{5，10，15，20，……}中的任意一個元素，它的末位是0”。顯然，這里的“是”等同于“都是”。對于“都是”的非應(yīng)該是“不都是”。因此，命題“{5，10，15，20，……}中的元素的末位都是0”的非是“{5，10，15，20，……}中的元素的末位不都是0”或者說是“在集合{5，10，15，20，……}中存在元素，它的末位不是0”。即“可以被5整除的數(shù)，末位是0”的非是“可以被5整除的數(shù)，末位不都是0”。這樣就與“p假非p一定真”不矛盾了。

由此，我想到①有必要分清這樣的兩類命題：命題的條件描述的對象是多元素集的命題與命題的條件描述的對象是單元素集的命題；②有必要澄清描述的對象是多元素集的命題的非的寫法。

命題的條件描述的對象是單元素集的命題，如：“5是質(zhì)數(shù)”、“ 不是有理數(shù)”等等，這類命題的非很容易寫。“5是質(zhì)數(shù)”的非是“5不是質(zhì)數(shù)”。“ 不是有理數(shù)”的非是“ 是有理數(shù)”。我想教參的要求應(yīng)該是學(xué)生會寫這一類命題的非及理解這類命題的“p真非p一定假；p假非p一定真”了。

命題的條件描述的對象是多元素集的命題，寫這類命題的非就不能太簡單了。如果這類命題直接以復(fù)合命題的形式出現(xiàn)還比較容易解決，例如“p且q”的非是“非p或非q”；“p或q”的非是“非p且非q”。

但有些命題表面上看來象簡單命題，實質(zhì)上要把它當成復(fù)合命題來對待。多使用“不全是”、“不都是”、“對于任意的…都不…”、“存在……”等等，它們是全稱命題。如：“相似的三角形的面積相等”、“偶數(shù)不能被3整除”、“菱形不是正方形”等等。

“相似的三角形的面積相等”，這個命題的條件“相似的三角形”——可以是面積相等的兩個相似的三角形，也可以是面積不相等的兩個相似三角形。原命題就相當于“任何與這個三角形相似的三角形，其面積都與這個三角形的面積相等”。因此這個命題的條件描述的對象是一個無窮集。“相似的三角形的面積相等”的非應(yīng)該是“存在相似的三角形的面積不相等”。這樣P假，非P一定真了。

“偶數(shù)不能被3整除”，這個命題的條件“偶數(shù)”不是某一特定的偶數(shù)，如“6不能被3整除”或“8不能被3整除”，而是一個無窮數(shù)集——{偶數(shù)}，原命題就相當于“所有的偶數(shù)都不能被3整除”。因此“偶數(shù)不能被3整除”的非應(yīng)該是“存在偶數(shù)能被3整除”，而不是“偶數(shù)能被3整除”了。

“菱形不是正方形”，這個命題的條件“菱形”不是一個特指的菱形，而是指一個“菱形”的集合，是一個無窮集，因此，“菱形不是正方形”的非應(yīng)該是“存在是正方形的菱形”，而不是“菱形是正方形”了。

還有人說“方程 的解是 或 ”不是復(fù)合命題，理由是“方程 的解是 或 ”如果是復(fù)合命題的話，則此命題是由兩個子命題復(fù)合而成，即“方程 的解是 或 ”等價于“方程 的解是 ”或“方程 的解是 ”。因為“方程 的解是 ”是假命題，“方程 的解是 ”也是假命題，而“方程 的解是 或 ”卻是真命題，這與p真q真，則p或q亦真矛盾。

這種說法是錯誤的，“方程 的解是 或 ”是一個復(fù)合命題，不過它不是我們一般意義上的“p或q”型合題。“或”型命題有兩種：一種是“可兼或”，這種命題只要p或q有一個是真，則“p或q”為真；p、q同時為真，“p或q”也真。這就是我們一般意義上的“或”型命題；另一種是“不可兼或”，亦即p、q不可能同時為真，或說p、q不能兼容。本題就是如此，“方程 的解是 或 ”是一個復(fù)合命題，它是不可兼或型命題。

（作者單位：江西省修水縣職業(yè)中專）