初探折紙中的數學

折紙，是日常生活中學生喜聞樂見的一種游戲，也是貼近生活的一種數學素材，“折紙型”問題廣泛出現于中考試題、學生綜合實踐之中。折紙能鍛煉學生的動手操作能力、空間想象能力和數學建模能力，其中蘊含著較為豐富的數學思想，在當前課程改革中日益凸顯其重要性。在初二教學中，就有這樣一個折紙問題。

【課本原題】把一張矩形紙ABCD折疊后，沿EF裁下，可以得到一個正方形紙片，為什么？

說明：此題的證明方法很多，可以通過證明“4邊相等+一個直角 正方形”；也可以通過證明“3個直角+一組鄰邊相等 正方形”。利用的是折疊時重合的線段和角產生的相等關系。

為了讓學生理解并熟練運用相關的相等關系，針對折疊時產生的“相等的角和相等的邊”兩個重要結論進行了系列探究。

一、折疊產生相等的角

變形1：把一張矩形紙ABCD隨意折起一個角或一邊，若已知∠1的大小，能求出圖中∠2的大小嗎？學生折出各種圖形，整理后有如下：

分析：易證明∠BEG=∠GEF，上面三個圖形中利用Rt⊿BEG可得∠BGE的度數，從而知∠FGB的度數，通過互補關系得∠2的度數；下左圖中通過AD∥BC可得∠AKF的度數，再通過Rt⊿AKF的兩銳角互余得∠2的度數；最后兩個圖形通過GH∥EF，得∠EGH，通過AD∥BC得∠EGD的度數，兩者相減，即得∠2的度數。

二、折疊產生相等的邊

變形2：把一張矩形紙ABCD沿著CE折疊，如圖使B點落在F處。已知：AB=8cm，BC=10cm，求AE的長。

分析：由于翻折，易得CF=BC=10cm.同時產生2個直角三角形：Rt⊿AEF、Rt⊿CDF，在Rt⊿CDF中，易得DF=6 cm，AF=4 cm，再轉入Rt⊿AEF中設AE=x，列出方程42=x2+（8-x）2，求得AE=3cm.

根據勾股定理列出方程作為解決問題的途徑.而選用勾股定理所在的直角三角形，我們也注意到一般是折疊后形成的新直角三角形。

三、綜合運用相等的邊和角

變形3：矩形ABCD，B（9，3），沿EF折疊，使C落在A處，B落在B’處，求（1）折痕EF的長；（2）EF所在直線的解析式。

分析：在Rt⊿AOF中利用勾股定理可求出AF=5，由等腰三角形⊿AEF 可知AE = AF =5，因此作EG⊥OG交OG于點G，可得E（5，3），FG=1.在Rt⊿EFG中求得EF= ；同時可知F（4，0），從而可以求出EF的解析式.

變形4：將⊿ABM沿AM折疊，使B落在B’處，直線AB的解析式為 ，求AM所在直線的解析式.

分析：由AB的解析式可知：OA=6，0B=8，從而得AB=AB’=10。要求AM解析式，就是求M點坐標，即OM的長度。所以在Rt⊿OB’M中利用勾股定理可求得OM=3，即M（0，3）。AM所在直線解析式為：

通過折紙，讓學生感受到在生活中處處都有數學，課后，教師可以引導學生對折紙題目及時進行總結，也許會發現蘊藏在“折紙”中的更多奧妙。當然，折紙本身并不能完全取代對數學活動的分析，通過積極開展對數學中游戲娛樂的探索，將會對培養學生的“自動力”，培養學生敢于創新的“自動”精神極為重要。

（作者單位：蘇州工業園區星灣學校）