一類廣義凸極大極小分式規劃的最優性條件

摘要：本文考慮一類非光滑極大極小分式規劃問題，問題中所出現的函數是局部Lipschitz的.對該類分式規劃問題，引入了廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數的概念，得到了關于這類函數的非光滑極大極小分式規劃最優性條件.

關鍵詞：極大極小分式規劃；廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數；最優性條件

中圖分類號：O224 文獻標識碼：A 文章編號：1007-5348（2014）

凸性理論在數學規劃的最優條件及對偶原理中起著重要的作用，1977年，Schmitendorf獲得了凸可微廣義極大極小分式規劃問題的充分和必要條件，在文 [1-5]中，分別對凸性概念進行推廣同時也利用最優性條件建立極大極小規劃問題的對偶理論.本文利用文[6]中廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數的概念，討論其相應極大極小廣義分式規劃問題的最優性條件.

一、定義與引理

約束條件 假設在的上半連續；在局部Lipschitz（關于一致）；對每一個給定的，在正規，即關于的方向導數滿足；集值函數在上半連續；

在處Lipschitz和正規。

定理（最優性充分條件）假設是廣義分式規劃問題的可行解，若下列條件成立：

（Ⅰ）在處存在，使得定理1中（a）（b）（c）（d）成立；

（Ⅱ）在點處是關于向量函數和函數的廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數，其中；對任意，當時，；在點處是關于向量函數和函數的廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函，則是廣義分式規劃問題的最優解.

定理 假設是廣義分式規劃問題的可行解，若下列條件成立：

（Ⅰ）在處存在，使得定理1中（a）（b）（c）（d）成立；

（Ⅱ）和在點處是關于向量函數和函數的廣義嚴格非光滑B-（p，r）-不變凸函數；對任意，當時，；在點處是關于向量函數和函數的廣義嚴格非光滑B-（p，r）-不變凸函數，則是廣義分式規劃問題的最優解.

證明 由命題中的條件可知、和的廣義

嚴格不變凸性可知不等式（4）（5）成立，又由定理1中的條件（d），故可得

這與定理中的條件（a）矛盾，所以是廣義分式規劃問題的最優解.

定理（最優性充分條件）假設是廣義分式規劃問題的可行解，若下列條件成立：

（ⅰ）在處存在，使得定理1中（a）（b）（c）（d）成立；

（ⅱ）在點處是關于向量函數和函數的廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數，其中；對任意，當時，；

（ⅲ）在是局部Lipschitz的，且為正則的；

則是廣義分式規劃問題的最優解.

參考文獻：

[1]Schmitendorf W E.Necessary conditons for static minimax problems[J].J Math Anal Appl，1977，57：683-693.