例談數學教學中學生創新能力的培養

《普通高中數學課程標準》指出：“數學在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用。數學是人類文化的重要組成部分，數學素質已成為公民所必須具備的一種基本素質”。這里所說的數學素質包括學生的創新能力。

《廣東高考考試大綱》明確要求我們要培養學生的創新能力，要求學生能發現問題、提出問題，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考，探究和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題。

創新能力是理性思維的高層次表現，對數學問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發現問題和解決問題的重要途徑，對數學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創新能力越強。

因此我們日常數學教學應該體現數學的價值和特點，并把當今數學發展所體現的理念適當地反映到新的高中數學課程中，要培養學生的創新能力。下面筆者就結合數學教學中的一個具體實例來探討如何培養學生的創新能力。

《普通高中課程標準實驗教科書數學4-5》（蘇教版）中有下面一道習題：已知 是大于2的自然數，求證：

.

在教學過程中，我設置了一系列創新能力問題，步步深入，層層遞進，喚醒學生的創新意識，培養學生的創新能力，激發學生對知識的再創造。

創新能力問題1：這道題從表面上觀察，可以采用什么方法？

這是一個有關自然數的命題，學生很容易想到證明此類問題常用的方法——數學歸納法，可是通過計算發現并不能得到結果，于是老師通過問題喚醒學生的創新意識。

創新能力問題2：這個不等式的左邊并不容易過渡到右邊，能否通過一個中間量過渡到右邊，即把左邊適度放大？

經過剛才的失敗和現在對成功的期望，學生非常渴望解決這個問題，此時老師帶領學生梳理學過知識，探索發現放縮法，證明方法如下：

因為

所以

，證畢.創新能力問題3：思考放縮法的本質，請問你還能不能找到不同的放縮方法？

經過剛才成功的體驗，學生積極在方法上創新：因為 時，

所以

，證畢.

創新能力問題4：觀察不等式，右邊的3能否縮小，得到更為嚴格的不等式？

此時，老師引導學生跳出解題方法，從出題的角度進行創新：因為 時，

所以

，證畢.

因此老師通過問題引導學生，學生通過自己的創新發現了一個新的結論：

.

創新能力問題5：觀察不等式 式，左邊相對右邊放大許多，能否得到更為嚴格的不等式？

因為 時，

所以

，證畢.

層層遞進，體現不斷創新的精神。

創新能力問題6：這好像永無止境，那么這個不等式的左邊到底有無上界呢？

老師此時引導學生提出問題，讓學生主動創新。學生開始主動翻閱這方面的資料，收集、整理、抽象、概括、證明，從而證明函數 展開為 冪級數（Maclaurin級數）為：

特別地，當 時，就得到了e的展開式

所以

創新能力問題7：那e到底是什么？有哪些應用呢？

這個問題為學生創新能力的培養提供了更為廣闊的空間。

從無限變化為有限，學生帶著這個問題開始研究e，e是一個無限不循環小數，其值約等于2.718281828…，它是一個超越數。

學生開始提出“自然律”是e及由e經過一定變換和復合的形式。e是“自然律”的精髓，我們定義 ，人們在研究一些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究 ，正是這種從無限變化中獲得的有限，充分體現了宇宙的形成、發展及衰亡的最本質的東西。

老師總結：

“法國著名的數學家曾經提出一個猜想：形如 的數都是質數，如：

100年后瑞士數學家及自然科學家歐拉發現費馬錯了，并舉出反例 .世界上許多偉大的發明和發現，科學原理的起點都源自我們日常學習和生活中一些平凡的“問題”，通過這些“問題”，一些智者進行創新，得出猜想，但他們的猜想絕不是妄想，因為他們在有了這些猜想之后，首先是通過大量的實踐經驗總結出來的，然后再上升到理性的論證，盡管有一些猜想在之后的進一步的論證過程中被否認，但正是通過這樣一個猜想，論證、否認或肯定的過程，使得人類對整個世界的認識程度不斷提高。可以這么說，一個沒有創新，沒有聯想，沒有豐富想象的人，即使他的才學再豐富，也注定他一生不會取得多大成就的。”

從上面這個實例我們可以看到，問題1-問題7有合理的程序和階梯性，由淺入深，由易到難，層層遞進，把學生的思維逐步引向新的高度。學生從一道具體的題一直思考到了我們數學的前沿，甚至是整個科技的前沿。通過老師設置的情境，展現了數學知識的產生過程，或由舊知識的探索、發現、拓展引出新問題，或由有趣故事展開，讓學生身臨其境，實現和展開思維活動，這樣學生就親自參與了數學思維創造的全過程，培養了學生的創新能力。

我們知道，創新能力總是在問題解決中發展起來的，問題解決是創新的土壤，并不一定所有的問題解決都包含有創新，但創新無疑都包含著問題解決。“問題”是數學的心臟，因此我們老師在數學教學中要有策略地設置一些問題，注意挖掘教材中具有某種創新價值的問題，引導學生思維發展，當然問題要具有階梯性、方向性、開放性。

從2004開始，在新課標的指導下，高中數學教材大量出現了適合培養學生創新能力的內容。教材大部分章節中都有“閱讀”“鏈接”等版塊供學生閱讀，用大量的篇幅生動地介紹了數學專用名詞或術語產生的歷程。我們要好好利用這些資源，將這些資源與教學內容有機結合，過不斷變換命題的條件，引深拓廣，產生一個個既類似又有區別的問題，形成一浪高過一浪的氣勢撲向學生，喚醒學生的創新意識，培養學生的創新能力，激發學生對知識的再創造。

通過上面這個實例發現，只要我們設置良好的問題情境，可以激發學生積極主動地使新舊知識發生相互作用，產生有機聯系，從而使新知識獲得實際意義，最終實現有意義的學習，在這過程中培養學生的創新能力。

（作者單位：廣東省深圳市龍城高級中學數學科組）