高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)要多教通性通法

當(dāng)今高考一直在改革，但是不管怎么改，學(xué)生會解題這一要求始終沒有變.解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容，它是考試文化的一部分，也是數(shù)學(xué)文化的一部分，因此解題教學(xué)研究一直是中學(xué)數(shù)學(xué)教師重點(diǎn)思考的問題，尤其是高三數(shù)學(xué)教師.目前涉及解題研究的書籍、文章等資料浩如煙海，遠(yuǎn)的如波利亞的《怎樣解題》，近的如羅增儒教授的《數(shù)學(xué)解題研究》，盡管如此，我們在教學(xué)中還是會有很多困惑，如很多學(xué)生說：“老師講的我聽得懂，但自己做就不行！”我們老師有時也能感覺到學(xué)生到達(dá)某一平臺后很難再突破，很多方法也不再奏效.章建躍教授曾說過“教學(xué)中，如果我們的教學(xué)不能打動學(xué)生，學(xué)生對我們的講解無動于衷，那么他們就不可能有心領(lǐng)神會的心靈共鳴，我們講得再精彩也只能無功而返.”華南師大何小亞教授說：“我們要重新審視解題教學(xué)，解題教學(xué)的重心不是解題，而是想法.要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，抓住數(shù)學(xué)原理結(jié)構(gòu)，學(xué)會數(shù)學(xué)問題解決.” 因此筆者認(rèn)為解題教學(xué)中要引領(lǐng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的思維過程，多教學(xué)生通性通法.

我們首先一起來研究一下近年部分廣東文科試題中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大題：

①（2014年第21題）已知函數(shù)

（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間

（2）當(dāng) 時，試討論是否存在 ，使得

②（2013年第21題）設(shè)函數(shù) .

（1）當(dāng) 時，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng) 時，求函數(shù) 在 上的最小值 和最大值 .

③（2012年第21題）設(shè) ，集合 ， ， .

（1）求集合 （用區(qū)間表示）；

（2）求函數(shù) 在 內(nèi)的極值點(diǎn).

④（2012年第19題）設(shè) ，討論函數(shù) 的單調(diào)性.

⑤（2007年第21題）已知 是實(shí)數(shù)，函數(shù) .如果函數(shù) 在區(qū)間 上有零點(diǎn)，求 的取值范圍

通過對以上試題的分析，我們發(fā)現(xiàn)在近年廣東高考中，大部分的函數(shù)壓軸題都是以含參一元二次不等式為背景考查，它們常常通過變形轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題，我們試著以2007年第21題為例來做一下解析，此題有至少三種解法：

法一（變量分離法）：略

法二（按零點(diǎn)個數(shù)分類）：

（1）若 ， ，顯然在 上沒有零點(diǎn)，所以 ；

（2）令 ，得 ，

當(dāng) 時， 恰有一個零點(diǎn)在 上；

（3）當(dāng) ，

即 時， 在 上也有零點(diǎn)；

（4）當(dāng) 在 上有兩個零點(diǎn)時，

則 或 ，解得 或 .

因此 的取值范圍是 或 .

法三：（1）若 ， ，顯然在 上沒有零點(diǎn)，所以 ；

（2）若 ， 的對稱軸為 ，

∵ ，可得 ，即

（3）若 ， 的對稱軸為 ，

∵ ，

∴ ，即

因此 的取值范圍是 或 .

我想我們可以通過此題的解題教學(xué)把通性通法教給學(xué)生，當(dāng)然教之前我們要分析，要分析試題，要分析學(xué)生.

我們可以看到這幾年函數(shù)考查的盡管是二次函數(shù)，但是學(xué)生得分并不容易，甚至得分很低，究其原因，可能與老師平時重視程度不夠，或老師根本不清楚怎么落實(shí)二次函數(shù)基本知識、思想、方法，本題主要考查的是含參數(shù)的一元二次函數(shù)上的單調(diào)性問題，也可以說是一元二次方程零點(diǎn)的分布問題；考查的數(shù)學(xué)思想主要是函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想.在分類討論過程中，關(guān)鍵是如何突破分類討論的標(biāo)準(zhǔn)這個難點(diǎn).通過分析學(xué)生，不少學(xué)生看到此類題時容易思維混亂，解題步驟混亂，很難解題完整，歸根到底是學(xué)生學(xué)生沒有掌握解決此類問題一般的模式方法.

因此我們可以對以上三種解法的總結(jié)，得出解決一元二次函數(shù)問題的解題模式：

（1）確定函數(shù)的定義域；

（2）確定是否可變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，如法一；

（3）如要分類討論，確定分類討論的維度，當(dāng)然不盡相同，如法二的零點(diǎn)的個數(shù)，即根的個數(shù)；

（4）但是大多數(shù)情況下討論的標(biāo)準(zhǔn)通常按以下步驟：

第一級討論標(biāo)準(zhǔn)：二次項(xiàng)系數(shù)是否為0；

第二級討論標(biāo)準(zhǔn)：二次函數(shù)的開口方向；

第三級討論標(biāo)準(zhǔn)：二次函數(shù)的對稱軸，和區(qū)間端點(diǎn)或中點(diǎn)比較；

第四級討論標(biāo)準(zhǔn)：特殊點(diǎn)的函數(shù)值，如本題中的 ， ， ；

第五級討論標(biāo)準(zhǔn)：

當(dāng)然我們并不可能通過這一道題，就讓學(xué)生掌握，但是這樣給學(xué)生搭了一個框架，學(xué)生就會指導(dǎo)自己想要往里面裝什么，這樣我們再在以下內(nèi)容專題突破：①二次函數(shù)的解析式.②熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).③深刻理解二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題.④透徹領(lǐng)悟“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的內(nèi)在聯(lián)系.⑤正確應(yīng)用一元二次方程（實(shí)系數(shù)）的實(shí)根分布.⑥二次函數(shù)的分類討論思想⑦二次函數(shù)的基本運(yùn)算（包括求根、Δ、系數(shù)、韋達(dá)定理等）

以上教學(xué)模式如果學(xué)生熟悉了以后，解題就會清晰，信手拈來，教師在解題教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)、理解消化典型問題的解題模式，這樣可以提高學(xué)生解題的效率.

（作者單位：深圳市龍城高級中學(xué)）