立足一題多解 讓思維綻放精彩

【摘 要】高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。數學是思維的體操，思維是學習數學的靈魂。對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。我們可以立足一題多解的數學思維，完善和豐富知識結構，以更理性的眼光去思考數學問題，領悟數學思想?！耙活}多解”讓課堂充滿靈動的數學思想，讓思維綻放精彩。

【關鍵詞】一題多解；數學思想；數學思維

《高中數學新課程標準》課程的基本理念指出：高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。新課程目標對老師的教學提出了新的挑戰(zhàn)的同時，對我們學生的數學思維品質和數學素養(yǎng)提出了新的要求。為此筆者所在學校在拓展課程中開設了“數學素養(yǎng)課”。旨在拓展我們學生數學思維，積累學生數學基本經驗，提升學生數學素養(yǎng)。學生該怎樣圍繞教材在教師的精心引導下，更好地踐行新課標核心理念呢？筆者認為學生盡可能多的立足一題多解的數學活動課是踐行課標的關鍵環(huán)節(jié)之一。筆者結合自己在“數學素養(yǎng)課”中的實踐，以課堂授課題源為載體，就張角最值問題擷以類述。

一、立足一題多解，完善知識思維結構

數學是思維的體操，思維是學習數學的靈魂，學生盡可能多的參與一題多解的數學活動課，在老師精心引導下，一題多解讓我們學生學會思考，學會用數學思想武裝自己，學生知識系統(tǒng)必將得以建構，知識結構必將得以完善。

課例1（初中平面幾何題）如圖，在四邊形ABCD中，有AD//BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12。如圖，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此時cos∠BPC的值；若不存在，請說明理由。

探尋軌跡：對張角求最值，這對初中學生來說極其陌生。少數有解題經驗的學生會先求出動點P在幾個特殊靜態(tài)位置時cos∠BPC的大小，再比較猜想結論：P點在BC的垂直平分線與AD交點處時cos∠BPC的值最小，然后通過構造輔助圓如解答圖③，應用“同弧所對圓周角大于圓外角”去證明∠BPC最大，最后利用勾股定理求出構造圓的半徑繼而順利求出cos∠BPC最小值。

上述方法是借助構造輔助圓去解決問題。如果想不出這個輔助圓，解答便陷入“死胡同”，怎樣沖出“死角”，筆者從高中學生的探究角度，有以下幾種思路來確定動點P的位置，從而解決問題，方法如下：

方法一正弦定理：BC=2Rsin∠BPC，當△BPC的外接圓的半徑R最小時，sin∠BPC的值最大，由銳角三角函數的增減性得∠BPC最大，cos∠BPC的值最小。而當△BPC的外接圓的半徑R最小時，△BPC的外接圓與AD相切，切點為P點，也即點P的位置是線段BC垂直平分線與AD的交點。怎樣求cos∠BPC的最小值？如解答圖③，利用∠BPC=∠BOQ轉化到直角△BOQ中，應用勾股定理得到方程62+（4-R）2=R2解得圓的半徑為，于是得出cos∠BPC=cos∠BOQ==，也即cos∠BPC的值最小為。

方法二余弦定理：如解答圖③設P′P=a，其中P點是線段BC垂直平分線與AD的交點，由余弦定理得

方法三三角形面積公式：S=BP×PC×sin∠BPC=24，要使cos∠BPC最小也就是使sin∠BPC最大，故只需BP×PC的值最小，由方法二得BP×CP=×=，顯然，當a=0時即P′與P點重合時，BP×PC的值最小為84，sin∠BPC的最大值是，由此得cos∠BPC的值最小。

方法四建立平面直角坐標系：如解答圖③中以B點為坐標原點建立平面直角坐標系，則B（0，0）、C（12，0），設P（x，4），其中4≤x≤12，由平面上兩直線的夾角公式（類比正切的和差公式）得：

tan∠BPC===，當x=6時即P′與P點重合時tan∠BPC有最大值4，此時∠BPC最大，由同角三角函數之間的關系，可計算出此時cos∠BPC的值最小。

數學學科特點要求學生掌握知識必須盡可能系統(tǒng)、完整，如對張角求最值，就會將相關三角函數的知識點整合、聯系在一起，從而衍生出多種解題思路，形成鏈條反應。因此立足一題多解，學生知識系統(tǒng)必將得以建構，知識結構必將得以完善，而且反過來還可以促進學生發(fā)散思維的發(fā)展。因為掌握知識越全面和牢固，發(fā)散的角度越多，可以幫助學生維持一種思維的靈動狀態(tài)，也可以幫助學生完善和豐富知識思維結構。

二、立足一題多解，培養(yǎng)理性數學思維

人們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發(fā)現、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程。這些過程是數學思維能力的具體體現，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷。一題多解的數學思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用。

課例2（高中立體幾何應用題）如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練。已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15cm，AC=25cm，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是______。（仰角θ為直線AP與平面ABC所成角）

解法探密：如圖，在墻面內過動點P做墻面與地面ABC之交線BC的投影點P′（P′可能落在線段CB的內部或外部）由題意可知∠PAP′=θ，設PP′=x（x>0）由直角△PAP′中∠BCM=30°可得CP′=x，AP′==，則f（x）=tanθ==，

問題轉化為求目標函數f（x）的最大值，而f（x）=

=，要求函數f（x）的最大值，只要通過求分母部分的最值，而分母部分是二次函數結構，由二次函數配方法可得當x=時tanθ有最大值。上述解法關鍵歸結為建立數學模型和解決模型，雖然完成了建模，但是解模又是一大難點，解模方法還可以用求導的方法求函數最值。

解密心路：首先初讀題源，感覺情境熟悉、題目簡潔、圖形清晰、背景公平，熟悉的背景沖淡了對壓軸填空題的“恐懼”。最后冷靜思考：第一思路就是從直觀幾何圖形結合運動與變化的觀點進行粗略分析，找?guī)讉€特殊位置，同時受“分母越小，分數值越大”的牽引，使得當分母AP′達到臨界最小值AB時，tanθ達到臨界的最大值是。這種粗略的特殊位置極端處理解決壓軸填空題是比較冒險的。于是再深入讀題，整理點動牽引線動的順序：“P點動→投影點P′動→線段PP′與AP′長度變→比值tanθ變”，而線段PP′與AP′長度變化的速度不一樣，所以思路一粗略的特殊位置極端處理方法是不妥的，于是有了思路二：用代數的方法研究動態(tài)幾何圖形，如解法探密的兩種方法，充分體現了數學核心概念如函數，和數學思想如建模化歸、數形結合等，同時，學生一題多解蘊含著個性思維，能“數學”的思考并嘗試解決一些現實生活中的問題時，不但可以培養(yǎng)學生的理性數學思維能力，又能輻射個性思維特色。立足一題多解，可使學生的思維縱橫交錯，沖破常規(guī)思維的束縛，挖掘思維潛能，形成理性的數學思維。

三、立足一題多解，讓數學思想靈動課堂

布魯納曾經說過“探索，是數學教學的生命線”，而一題多解是學生探索的源泉，是數學課堂發(fā)散的思維調動。而發(fā)散思維可以幫助維持一種靈敏的狀態(tài)，往往容易調動學生的積極性，提高學生的興趣和熱情，讓課堂充滿“生本”。在課堂上展開一題多解，學生思維不拘泥于一個方向、一個框架，而向四面八方延伸，開放性的思維為課堂注入生機，使課堂充滿靈動。同時體現出不同的數學思想方法的運用，上面課例1和課例2，從題目形式來說都是求張角最值，核心的解題思路一致，即通過相同的化歸轉化方式，變?yōu)榍蠖魏瘮底钪担?充分體現數學建模思想、函數思想、化歸思想、數形結合思想等，這些思想方法的應用，可以極大開拓學生的思維空間，也為數學課堂注入生機和活力。一題多解是體現數學思想的靈魂，高中數學思想是高中數學的精髓，在多解中滲透數學思想方法，提升學生的數學素養(yǎng)，培養(yǎng)多元思維和創(chuàng)新能力。

在筆者學校的“數學素養(yǎng)課”活動中，老師經常會給我們學生提供較多的解題方法，旨在提高學生的解題能力，激發(fā)學習興趣。但有時聽到學生抱怨；“這么多種方法，我都不知道用哪種，方法越多，反而解題思路越混亂?！狈此紝W生的抱怨，形式化的“一題多解”需要避免。解題的過程中，不能只停留在找到答案或得到泛泛的解題方法之上，而應該立足一題多解，進行反思和系統(tǒng)化，完善和豐富知識結構，以更理性的眼光去思考數學問題，領悟數學思想。對各種解題方法進行差異比較，溯本逐源，對問題深入反思。立足“一題多解”讓課堂充滿靈動，讓思維綻放精彩。

【參考文獻】

[1]戴志軍.倩影重來 形數結合.中學教研（數學），2014（8）

[2]紀宏偉.對一題多解教學的思考.中學數學月刊，2014（6）