圓的切線證明的常用方法與技巧

摘 要：圓與生活息息相關(guān)，太陽從海平面升起，把海平面看成一條直線包含了圓與直線的三種關(guān)系，相交、相切、相離。而切線是當(dāng)中最特殊的，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)交點(diǎn)，如地面與自行車輪胎等都是相切的實(shí)際情況，圓的切線證明方法很多，就如何證明圓的切線談?wù)劮椒记伞?/p>

關(guān)鍵詞：圓；切線；垂直；半徑

證明一條直線是圓的切線除通過交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷外，通常還有兩種情況：（1）未已知切點(diǎn)，用作垂直，證半徑的方法。（2）已知切點(diǎn)，連半徑，證垂直。下面具體說說這兩種方法的應(yīng)用。

一、利用定義來證明

當(dāng)題目中未出現(xiàn)直線與圓的交點(diǎn)（即切點(diǎn)未出現(xiàn)）時(shí)，我們需要過圓心作直線的垂線段，再利用定義，到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線，證明這條直線是圓的切線。

例如：利用角平分線性質(zhì)證明。

例1.如圖1，△ABC中AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心的圓于AB相切于點(diǎn)E，求證：AC與⊙D相切。

分析：本題中，AC與圓的交點(diǎn)未告知，即不知道切點(diǎn)，所以需要作垂直，通過角平分線性質(zhì)證明d=r，得出AC是⊙D的切線。

證明：連AD，DE，過D作DF⊥AC

∵AB=AC，BD=CD ∴∠BAD=∠CAD

∵AB與圓相切于點(diǎn)E ∴DE⊥AB

∵DF⊥AC∴DE=DF ∴DF是圓的半徑，又DF⊥AC ∴AC是圓的切線

二、運(yùn)用切線的判定定理證明

1.利用角度轉(zhuǎn)化證垂直

利用角度轉(zhuǎn)化，得到角+角=90°

例2.已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF。

（1）如圖2，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是什么（只需寫出三種情況）？

（2）如圖3，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是⊙O的切線。

分析：第一問是證明切線的最簡單情況，已經(jīng)連接半徑，直接證明垂直即可。第二問在第一問的基礎(chǔ)上遷移，首先還是要想到連半徑證垂直，進(jìn)而利用同弧所對(duì)圓周角相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而證明垂直。

解：（1）①BA⊥EF；②∠CAE=∠B；③∠BAF=90°

（2）連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，

則AD為⊙O的直徑，∴∠D+∠DAC=90°

∵∠D與∠B同對(duì)弧AC，∴∠D=∠B，又∵∠CAE=∠B，

∴∠D=∠CAE，∴∠DAC+∠EAC=90°

∴EF是⊙O的切線

2.利用全等證垂直

例3.如圖4，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于B點(diǎn)，連接OC，交⊙O于點(diǎn)E，弦AD//OC，求證：CD是⊙O的切線

分析：要證CD為切線，就要證明∠ODC=90°，即要證明兩個(gè)三角形全等。

證明：（1）由AD//OC，得∠1=∠2

弧BD所對(duì)應(yīng)圓心角和圓周角：∠BOD=2∠1

而∠BOD=∠2+∠3=∠1+∠3，則∠2=∠3又OB=OD=半徑，OC是公共邊，所以△COB≌△COD以及BC⊥AB，所以∠ODC=∠OBC=90°

即CD⊥DO于D，即CD是圓O的切線。

總之，幾何證明題目千變?nèi)f化，關(guān)鍵是掌握方法，靈活做出輔助線，合理利用判定定理，掌握好方法技巧，才能以不變應(yīng)萬變，對(duì)圓的切線加以判定。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹文喜.圓的切線的證明[J].考試，2004（12）.

[2]王曉峰.巧構(gòu)圓解題[J].數(shù)學(xué)月刊，2005（12）.

編輯 孫玲娟