對于圓錐曲線教學(xué)的一些思考

摘 要：圓錐曲線是高中平面解析幾何中的重要內(nèi)容，其中蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)該部分知識(shí)對學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高，對教師的教學(xué)能力要求較高，為了使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)該重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；思想方法；基礎(chǔ)知識(shí)

圓錐曲線知識(shí)是平面解析幾何的重要內(nèi)容，橢圓、雙曲線以及拋物線歷年來都是高考必考的知識(shí)，也是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)之一。從多年的教學(xué)和高考復(fù)習(xí)過程來看，學(xué)生對圓錐曲線內(nèi)容的學(xué)習(xí)和掌握程度不是很好，無論是知識(shí)的習(xí)得，還是問題的解決以及思想方法的應(yīng)用都存在著一定的困難，追溯產(chǎn)生困難的根源，就是教師在教學(xué)中忽視的一些細(xì)節(jié)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中沒有掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法。

一、重視圓錐曲線概念教學(xué)

比如，在橢圓的概念教學(xué)中，首先，展示生活中的橢圓的實(shí)例，人造衛(wèi)星運(yùn)行軌跡、盤子等，使得學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)源于生活又高于生活。其次，通過學(xué)生親自動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)畫“橢圓”，展示學(xué)生畫出的橢圓，然后總結(jié)圖像的特征，給橢圓下定義。因此，對概念的內(nèi)涵和外延把握不準(zhǔn)確，從而導(dǎo)致在解決問題時(shí)就會(huì)出現(xiàn)解題思路受阻、錯(cuò)解等現(xiàn)象。例（教材第42頁練習(xí)題3）已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)。

（1）求△AF1B的周長；

（2）如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長有變化嗎？為什么？

當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，是一種特殊情況，對于概念不熟悉的同學(xué)，先求解了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理求出F1A、F1B，進(jìn)而求出三角形的周長。第二問中當(dāng)不垂直于軸時(shí)，學(xué)生就束手無策了。在提示下，學(xué)生可以將△AF1B的周長拆分成AF1+AF2+BF1+BF2，利用定義就可以轉(zhuǎn)化為AF1+AF2+BF1+BF2=4a=20.

二、酌情處理圓錐曲線方程推導(dǎo)

圓錐曲線的定義揭示了圓錐曲線的本質(zhì)特征，利用解析法將曲線上滿足動(dòng)點(diǎn)的代入，由曲線和方程的關(guān)系，求出圓錐曲線方程。事實(shí)上會(huì)發(fā)現(xiàn)，在圓錐曲線方程推導(dǎo)過程中學(xué)生對代數(shù)式的處理能力較弱，一是出現(xiàn)化簡方向上的思維障礙，二是不能準(zhǔn)確進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，即學(xué)生代數(shù)運(yùn)算能力偏弱。數(shù)學(xué)問題的解決離不開推力計(jì)算。因此，在學(xué)習(xí)過程中要有意識(shí)的訓(xùn)練學(xué)生，但是也要注意難易程度的控制，不要刻意的訓(xùn)練偏、繁、怪的計(jì)算，注重算式的推理計(jì)算，思維邏輯推理運(yùn)算。

三、準(zhǔn)確理解圓錐曲線的性質(zhì)

結(jié)合圓錐曲線的方程探討圓錐曲線的性質(zhì)，利用圓錐曲線的性質(zhì)解決圓錐曲線的問題。準(zhǔn)確理解圓錐曲線的性質(zhì)是解決圓錐曲線問題前提，比如，在圓錐曲線的問題中以標(biāo)準(zhǔn)方程來研究性質(zhì)的，因此，在拿到圓錐曲線方程時(shí)先將方程代數(shù)變換為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定方程中的參數(shù)，準(zhǔn)確理解橢圓的頂點(diǎn)，長軸和短軸，長軸長和短軸長，長半軸長和短半軸長等定義，準(zhǔn)確確定這些參數(shù)的取值，雙曲線的頂點(diǎn)，實(shí)軸和虛軸，實(shí)軸長和虛軸長，實(shí)半軸長和虛半軸長，漸進(jìn)線方程等概念。注意區(qū)分橢圓與雙曲線中a、b、c的數(shù)量關(guān)系。圓錐曲線離心率的取值范圍等。

四、注重?cái)?shù)形結(jié)合方法在圓錐曲線中的應(yīng)用

考試大綱對圓錐曲線的要求是理解數(shù)形結(jié)合思想方法。事實(shí)上數(shù)形結(jié)合思想方法是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，如果能順利實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的合理，就會(huì)使得一些抽象的數(shù)學(xué)問題形象、具體、簡單，當(dāng)然，這種轉(zhuǎn)化必須要有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為基礎(chǔ)，比如，基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念、公理、定理以及重要的結(jié)論等，這些都是實(shí)現(xiàn)數(shù)與形順利轉(zhuǎn)化的前提。

五、合理控制試題難度，重視基礎(chǔ)知識(shí)

比如，求橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的離心率的問題；直線與圓錐曲線的綜合考查圓錐曲線的性質(zhì)等問題，難度適中。在解答題中，第一小問主要考查圓錐曲線的方程，離心率等問題，第二問通常考查直線與圓錐曲線的綜合問題，涉及定值、最值、恒成立、參數(shù)范圍確定等問題，有一定的難度，有時(shí)在這一問設(shè)置難度，充當(dāng)壓軸題的角色。

六、酌情介紹圓錐曲線的定義

教材中，閱讀與思考內(nèi)容給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義：已知點(diǎn)是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，l是平面上不過點(diǎn)F的一條定直線，點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離和它到直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e。統(tǒng)一定義中隨著的變化，曲線的屬性也隨之變化，當(dāng)時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng)01時(shí)，軌跡是拋物線，定點(diǎn)是曲線的焦點(diǎn)，比值是它的離心率，定直線是它的準(zhǔn)線。圓錐曲線的直角坐標(biāo)方程的統(tǒng)一形式為：（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0，隨著e的變化，對應(yīng)著不同的曲線。作為教材的拓展內(nèi)容，學(xué)有余力的學(xué)生可以去學(xué)習(xí)，但是對于大部分學(xué)生而言，這部分內(nèi)容可以不掌握。從考試大綱來看，對于第二定義及統(tǒng)一方程沒有要求，那么在教學(xué)中介紹第二定義及方程無疑是增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和壓力。

圓錐曲線內(nèi)容抽象，性質(zhì)也因曲線的不同較為復(fù)雜，所以學(xué)生對這部分知識(shí)不容易理解和記憶，那么在教學(xué)過程中就要做到心中有數(shù)，根據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)有所得，不盲目追求難度和高度，注重基礎(chǔ)和過程，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育。

參考文獻(xiàn)：

王娟.試析新課程下高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇，2016（6）：277-278.

編輯 王潔瓊