活用導數工具 提升解題能力

從2011年開始，全國新課標高考文、理卷的壓軸題幾乎年年都是函數與導數的綜合題，它綜合性強、運算量大、思維要求高。函數與導數的綜合題主要考查函數的單調性和極值點的概念，考查基本初等函數的求導公式和導數運算法則以及函數與方程的思想。考查學生靈活運用導數這一工具去發現問題、分析問題解和決問題的能力。對學生分析應用知識，尋找合理運算策略以及推理論證能力提出較高要求。

函數與導數的綜合題考察的內容有以下兩部分：

1.基本知識點：包括基本初等函數的圖像與性質。特別是（含參）二次函數的圖像與性質，函數的零點;導數 的定義及其幾何意義;導數的計算;利用導數研究函數的性質，導數圖像與原函數圖像之間的關系等等。考察的基本技能包括消元法、放縮法、整體求法、基本算理、優化計算分離參數等。

2.基本思想方法包括分類討論的數學思想方法，數形結合的數學思想方法，方程的數學思想方法，函數的數學思想方法，化歸與轉化的數學思想方法等。

近幾年新課程標準卷的函數與導數的綜合題一般設置兩問，命題以高等數學為背景，而解決方式又是用教材上闡述的有關函數導數基本感念、基本知識、基本方法解決。下面我們以新課標2014年全國卷（理）函數導數試題為例，通過分析試題的解析過程，研究導數試題的命題背景、命題建構和試題解法。

例1.設函數曲線f（x）在點（1， f（1））處的切線方程為y=e（x-1）+2，

（I）求a，b

（II）證明：f（x）gt;1

點評：本題是2014 年新課程全國卷Ⅰ理工科卷的最后一題，是壓軸題，它是以曲線的切線為背景，考查導數的幾何意義，用導數研究函數的單調性求函數的極值、最值以及證明函數不等式。本題目設置兩問，第一問入手容易，第二問深入較難，這樣設置層次分明，結構合理，梯度適宜，能使不同能力的學生各有所獲。故第一問是基礎題，考查導數的幾何意義多數學生可以求出f（1）=2，f′（1）=e，從而求出a=1，b=2。第二問看起來似乎不難，實際操作出來比較困難。它背景豐富，有難度和區分度，研究的空間很大。

解析：（II）由（I）問知a=1，b=2，

要證明不等式

只需證明不等式

方法一：利用函數的單調性和函數的零點定理，構造的新函數證明。

令，

下面證明g（x）gt;0，求導得

根據函數零點定理知，h（x）在（0，+∞）上（0，+1）有唯一零點，

，故得證。

評析：方法一是處理函數與導數的常見方法，即將所證明不等式證明問題轉化為另一個函數不等式成立問題，利用函數的單調性和函數的零點定理（必修1），證時構造的新函數在定義域上的最大值小于或等于零，或最小值大于或等于零，即得原函數不等式恒成立。這里有時構造一個函數可能得不到所需要的不等式成立，還需構造兩個或三個函數方可得到結論，有時可能對原函數求二次或三次導數，判斷所構造的函數的單調性和極值最值的符號，函數的零點，才能得到要證明的不等式。

函數與導數的綜合題主要考查函數的性質，考查基本初等函數的求導公式和導數運算法則以及函數與方程的思想。考查學生靈活運用導數這一工具去發現問題、分析問題解和決問題的能力。對函數與導數的教學，就是要緊緊扣住數學知識與數學學習的本質，回歸本源，注重對基本初等函數的基本性質的研究，諸如函數的單調性、奇偶性、周期性、函數的極值、函數的零點的研究，同時加強對基本技能、基本思想方法、基本活動經驗的研究，提高發現問題、提出問題、解決問題的能力。