山東大學數(shù)學教育綜述

【摘要】：山東大學數(shù)學教育歷來優(yōu)秀，本文將從它的課程設置和學習方面予以分析。

【關鍵詞】：山東大學;數(shù)學;教育

山東大學是國家985重點大學，始終秉承“為天下儲人才，為國家圖富強”的教育理念，“學無止境，氣有浩然”更是學生們不斷追求的目標。其中數(shù)學學院是山東大學中的翹楚學院，為師者博學，侃侃而談;求學者踏實，精益求精。數(shù)學學院經(jīng)過老師和同學的共同努力，2015年的全國數(shù)學系評比中位居全國前三，僅次于復旦，北大，是數(shù)學愛好者的夢想學府。

數(shù)學學院非常注重學生專業(yè)基礎的培養(yǎng)，就課程設置中《數(shù)學分析》和《高等代數(shù)》兩門課就貫穿了整整大學一年級的教育。

《數(shù)學分析》與非數(shù)學類專業(yè)的《高等數(shù)學》課程有相似之處但也有很大不同。非數(shù)學類專業(yè)學習的《高等數(shù)學》內(nèi)容包含了微積分、無窮級數(shù)、解析幾何和常微分方程，但是學習難度較小，偏于應用，所涉及的常微分方程也僅僅是最簡單的幾種，用公式套用即可。整個課程的學習會涉及很多概念及定理結論，但是并不會要求學生對定理來源掌握，即只需知道“是什么”，而無需知道“為什么”，所以勤奮努力即可取得不錯的成績。數(shù)學類專業(yè)的《數(shù)學分析》課程內(nèi)容也包括了微積分和無窮級數(shù)的內(nèi)容，但是其學習的側重點有很大不同。老師上課時講課內(nèi)容也許只涉及兩三個定理，卻能將定理的證明寫滿兩個黑板。這給同學們傳播了數(shù)學理論學習的一個重要理念：數(shù)學的精華在于證明，數(shù)學理論的學習就是不斷分析證明的過程。這個理念對于整個大學數(shù)學理論課的學習都非常適用，所以《數(shù)學分析》就是大學入門的思維分析課。任何存在僥幸偷懶心理者，想要跳過繁雜的證明過程就對知識有深刻理解掌握是完全不可能的。故數(shù)學的學習需要踏實刻苦與不斷求知的精神，以興趣居上，否則學習過程難以忍受、痛苦不堪。有句 話說“數(shù)學是美與孤獨的”，總要先體驗孤獨的過程，在學有所成之后，才能發(fā)現(xiàn)它的美。

《高等代數(shù)》包含多項式、行列式、矩陣、二次型、線性空間等內(nèi)容，是代數(shù)類基礎課程。難度系數(shù)較大，它是解決代數(shù)類問題的重要工具，因此在之后的各種數(shù)學理論課的學習中都會見到它的影子。剛開始學習的過程需要花大量時間理解，反復推敲分析，其中定理的證明也是重點。掌握之后就會發(fā)現(xiàn)前后知識具有很大的連貫性，整個課程自成一體，是一門系統(tǒng)的理論科學。

此外，大學一年級的課程還包括《數(shù)論》與《解析幾何》。這兩門課程相對于《數(shù)學分析》和《高等代數(shù)》難度較小。《解析幾何》主要介紹空間直角坐標系，平面，直線，向量代數(shù)，二次曲面，正交變換等。這是將代數(shù)與幾何結合的課程，比如說每一個曲面可以用一個特定的二次方程表示出來，不同的二次方程可以表示不同的二次曲面，由此可觀察出對應于各種二次曲面的方程在代數(shù)上的形式各具有什么特點。《數(shù)論》相對于《解析幾何》難度更大，因為數(shù)論的知識在高中時并沒有涉及，就像《高等代數(shù)》一樣，它引領你走進一個全新的數(shù)學理論體系，是純粹數(shù)學的一個重要分支。《數(shù)論》引入了取模同余的概念，主要介紹了最大公倍數(shù)、最小公約數(shù)、同余類、剩余類以及代數(shù)結構中的群、環(huán)、域等，其中還涉及了著名的“歐拉定理”、“費馬小定理”和“中國剩余定理（孫子定理）”。學習過程以基礎概念、基本應用為主，需要同學們課下多加思考，才能融會貫通，理解課程本質(zhì)。并且這門課是信息安全專業(yè)的理論基礎課，它是信息安全專業(yè)中公鑰密碼學的數(shù)學基礎。

有了大學第一學年各種理論數(shù)學課的熏陶和數(shù)學素質(zhì)的培養(yǎng)，在第二、第三年的學習中將更上一層樓。大學二年級在方程方面將學習《常微分方程》和《偏微分方程》這兩門扎根于實際問題的方程課;在分析學方面將學習《復變函數(shù)論》、《實變函數(shù)論》以及《泛函分析》三門課，其中《實變函數(shù)論》與《泛函分析》堪稱最難理論數(shù)學課，素有”實變函數(shù)學十遍”的說法;另外在統(tǒng)計方面將學習《概率論》與《數(shù)理統(tǒng)計》兩門課，這兩門課是統(tǒng)計學專業(yè)和密碼學專業(yè)的基礎。

在物理方面的重大問題，諸如地球繞太陽的軌道是一個橢圓，海王星的發(fā)現(xiàn)等等都離不開微分方程的求解法[1]。至今為止大部分微分方程都仍舊無法解開，我們能學習的僅是一小部分已被證明能解的微分方程，《常微分方程》和《偏微分方程》就是介紹這些特殊能解的方程。《常微分方程》除了求解特定常微分方程外，一大特色就是研究解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，同時引入了奇點理論。《偏微分方程》又稱“數(shù)學物理方程”，主要研究波動方程、熱傳導方程、調(diào)和方程和二階線性偏微分方程。比如波動方程主要描述維弦或者膜的振動狀態(tài)，有達朗貝爾解法等，可根據(jù)方程作圖確定波的傳播與衰減。

數(shù)系從實數(shù)域擴展到了復數(shù)域，僅僅是為了使負數(shù)開平方有意義。后來發(fā)現(xiàn)復數(shù)與幾何有對關系，由此，瑞士數(shù)學家歐拉建立了復數(shù)理論，并經(jīng)過柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯的努力成為一門系統(tǒng)理論[2]。《復變函數(shù)論》這門課即研究自變量為復數(shù)的函數(shù)，它是分析學的一個分支。內(nèi)容包括復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法、洛朗展式和孤立積點、留數(shù)理論等。其研究中心是解析函數(shù)，故又稱解析函數(shù)論。《實變函數(shù)論》與《泛函分析》是繼《復變函數(shù)論》之后的又一分析課。不入門者，難于上青天;入門者，融會貫通。學習實變與泛函分析的原因是由于微積分需要的條件較強，比如無窮級數(shù)逐項積分的條件，但是在許多問題中無法滿足，它的缺陷日甚，因此發(fā)展出了實變與泛函分析使其在較弱條件下仍能滿足。《實變函數(shù)論》的研究重點是測度論和積分論，《泛函分析》則是擴展了空間，引入了距離空間、Banach空間、Hilbert空間，另外還介紹了線性算子、線性泛函、全連續(xù)算子、自共軛算子等。

《概率論》和《數(shù)理統(tǒng)計》則是研究隨機現(xiàn)象的科學，通過對已有的數(shù)據(jù)處理，實現(xiàn)對未發(fā)生事件的概率估計，是一門非常有用的學科，能幫助人們提前做最優(yōu)選擇，因此其應用遍布各個領域。《概率論》主要內(nèi)容包括事件、條件概率、統(tǒng)計獨立性、隨機變量、分布函數(shù)、特征函數(shù)、極限定理等。《數(shù)理統(tǒng)計》則介紹了樣本、抽樣分布、參數(shù)估計、假設檢驗、方差分析和回歸分析等。

總而言之，數(shù)學學習的過程是十分辛苦的，單調(diào)而孤獨，它的學科性質(zhì)注定了學習者必須擁有嚴謹?shù)那髮W精神。山大數(shù)學院的優(yōu)秀在于老師和同學的共同努力。這里的老師不但自身博學，專心科研和教學，對待學生也非常負責。他們總是以自己對數(shù)學的熱愛激情澎湃地講解每一個數(shù)學定理，帶動著學生們的學習興趣。總是循循善誘地給不懂的同學一步步講解推導過程。同樣，山大數(shù)學院的學子以自身勤奮努力不負老師和家長的重望，不論何時，任意走進校園內(nèi)一個自習室都能見到至少一個數(shù)學院的學生在自習，他們認真踏實，言語不多，卻始終熱愛者著數(shù)學的知識海洋。

參考文獻：

[1].《常微分方程教程》丁同仁 李承志

[2].《復變函數(shù)論》 鐘玉泉