解函數問題勿忘“我”

【關鍵詞】定義域的概念；定義域重要性；函數基本性質；函數實際問題

函數內容一直是高中數學學科的重要內容，也是高考的重點。定義域、值域、對應關系稱為函數的三要素，而定義域為函數之根本。我在以往的教學中發現讓學生直接去求解函數的定義域，學生一般可以做到，但是在解決函數綜合問題時，學生經常會忽略題目中隱含的x的取值范圍或限定的x的取值范圍，導致解題錯誤。以下我就結合我在教學過程中遇見的學生常見錯解為例，淺析函數定義域的重要性。

1 首先認識下“我”吧 —定義域的概念與確定原則

函數y=f（x）， x∈A. 其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域。

確定函數定義域的原則與函數的表示有關，當函數是用列表形式表示時，函數的定義域為表格中x的集合；當函數是用圖像表示時，函數的定義域為函數圖像投影到x軸上的范圍構成的集合；當函數是用解析式表示時，函數的定義域為使得函數關系式有意義的x的集合。另外在解決函數的實際問題是除保持上述的三個原則外，確定函數的定義域還需結合x在實際問題中的意義。

2 解函數基本性質問題請優先考慮“我”—定義域

2.1 求解函數單調區間的問題

例如：求函數y=x-lnx的單調區間，學生錯解案例：直接去求

，y'>0，得x<0或x>1；由y'<0，得0

函數的單調區間是指在定義域內的某個區間D上，函數值隨自變量的增大而增大，則稱區間D為函數f（x）的單調增區間；若函數值隨自變量的增大反而減小，則稱區間D為函數f（x）的單調減區間。從這定義可以看出函數的單調區間是函數定義域的子集，所以求解函數單調區間時必須優先考慮到函數的定義域。解出的單調區間需結合函數定義域，與之取交集，

這道題因學生事先沒有考慮到函數y=x-lnx的自然定義域為（0，+∞），忽略解得的單調增區間（-∞，0）不在定義域（0，+∞）范圍內，沒有舍去。所以函數y=x-lnx的單調增區間應為（1，+∞），單調減區間為（0，1）。

2.2 判斷函數奇偶性的問題

例如：判斷函數f（x）= x2-4，x∈[-1，2]的奇偶性，學生錯解案例：直接就令x=-x帶入函數得f（-x）= （-x）2-4=x2-4=f（x），所以得出函數f（x）= x2-4，x∈[-1，2]為偶函數。

函數的奇偶性是指對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）= f（x），則稱函數f（x）為偶函數；若都有f（-x）= -f（x），則稱函數f（x）為奇函數。從定義可以看出，定義域需關于原點對稱，才有進一步判斷函數奇偶性的意義。

這個函數的定義域為x∈[-1，2]，即得這個函數的定義域是不關于原點對稱的，所以直接就可以判斷函數f（x）= x2-4，x∈[-1，2]為非奇非偶的函數。此題因學生事先忽視函數限定定義域沒有關于原點對稱，導致錯解。

2.3 求函數的最值（值域）的問題

例如：求函數y=x2-2x在[2，4）上的最值、值域。學生錯解案例：y=x2-2x=（x-1）2-1，所以對稱軸為x=1，所以ymin=-1，ymax=8所以函數函數y=x2-2x在[2，4）的值域為y∈[-1，8]。

把實數M稱為函數的最值需滿足兩個條件，首先M應比定義域上的所有函數值大或小，其次還需在定義域內存在x0使得f（x0）=M。所以定義域對函數最值（值域）具有絕對的制約性。

學生這樣解因沒考慮到函數y=x2-2x對稱軸與限定定義域[2，4）的位置關系，以及定義域區間的端點是否可取的問題，導致錯解。而這個函數的對稱軸x=1且開口向上當x∈[2，4）函數值在隨x增大而增大，所以ymin=f（2）= 22-4=0， 但是當x=4時函數不可以取，所以函數沒有最大值，即得函數y=x2-2x在[2，4）值域應為y∈[0，8）。

3 解函數實際問題時請別忽略“我”—定義域

例如：某養雞場是一面靠墻，三面用鐵絲網圍成的矩形場地.如果鐵絲網長40 m，問靠墻的一面多長時，圍成的場地面積最大？

學生的錯解案例：設靠墻的一面長為x m，圍成的場地面積為y m2，此時矩形的寬為

解函數實際問題時，函數中的自變量x是具有實際含義，x的范圍除了要使函數關系式有意義外還需結合具體的實際問題而定。

學生解這題時忽略了自變量x的實際含義，認為x∈R。但是此題中的x代表的是矩形的長，

代表的是矩形的寬，應滿足x>0且

綜上所述學生在解函數問題中屢屢出錯，究其原因首先是學生對定義域的概念及定義域對函數的制約作用理解不深刻，其次是學生解題思維嚴密性不夠。作為老師，我們在教學中應闡述清楚函數的定義域、值域、函數關系式、函數基本性質等概念，引導學生解函數題時辨別函數定義域對解題結論有無影響或定義域的范圍有無改變，從而加強學生思維的嚴密性，避免解函數問題因忽略定義域導致的常見錯誤。同時希望同學們在閱讀完此文后能夠理解函數定義域的重要性，養成解函數題定義域優先的原則與習慣。

參考文獻

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