函數極限求法的研究

【關鍵詞】極限；函數；數列；極限運算

極限定義的高度抽象，使的我們很難用極限定義本身去求極限，又由于極限運用分布于整個高等數學的始終，許多重要的概念是由極限定義的，反過來我們又可以利用這些概念來求極限，所以極限的運算方法十分繁多，針對這樣的情況本題論文會對極限的方法進行總結性的研究。這方面的研究可以使的讀者善于從多角度多方位的去探索同一問題，擴展解題思路，尋找合適的解題方法，提高解題能力，同時也整合了讀者的知識框架，培養了讀者發散性思維的能力。

極限作為微積分的基礎概念，描述了數列以及函數在趨于無限的過程中的變化趨勢，讓大家的認識從有限擴展到無限，從近似輾轉到精確，從量變飛躍質變，是一種系統的數學學習方法。求極限的方法也有很多。就具體的方法在題目中的運用做了以下分類。

1 利用極限的四則運算法則

例題 1 ：求

解：

例題2 ：求

解：由于當x→-1時，x3+1→0，x3-1→0，因此

不符合四則運算法則的條件，需要進行恒等變換：即消去當x→-1時，分子分母為0的因子x+1后方可以利用極限四則運算法則求解。

2 利用夾逼定理

夾逼定理：設an≤cn≤bn，

，則.

例題3：計算

解：設

則顯然有：an≤cn≤bn，

而，

，

于是，由夾逼定理可得：.

3 利用兩個重要的極限

兩重要極限：；.

例題4 ：求.

解：令t=π-x，則sinx=sin（π-t）=sint，且當x→π時t→0所以有

.

4 利用無窮小量（不為零）的倒數為無窮大量，無窮大量的倒數為無窮小量

例題5 ：求

解：當x→3時，

（注：是錯誤的）

例題：求

解：當 x→∞時，

（注： 是錯誤的）

5 利用無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量

例題6 ：求

解：，而

.

6 利用等價無窮小量的代換.

設α～α'，β～β'，且存在，則

例題7 ：求

解：

7 利用積分中值定理求極限

設f（x）在[a，b]上連續，則，使得.積分中值定理的推廣形式是，設f（x）在[a，b]上連續，g（x）在[a，b]上不變號，則，使得.

例題8 ：求極限

解：

（0≤ξ≤1）.

8 利用變量代換求極限

例題9 ：求

解：設arccosx=1，則x=sint，當x→0時，t→0.

9 利用左右極限判斷與求分段點處的極限

例題10 ：

解：

10 利用泰勒公式求極限

在極限含有復合式時，利用泰勒公式求極限是一種極為有效的方法

例題11：求

11 結束語

歸納以上求極限的解題方法，讓讀者對極限的基本概論做了全方位的疏通，在解題思路上有了明確的認識，針對極限問題具體分析，靈活的運用求極限的法則，較熟練的選擇簡便的方法。

參考文獻

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