綜合與實踐二 蓄水池建在哪里較好教學設計

教學目標：1、學生通過將實際問題抽象為數學問題，親身經歷把“距離和最短”的問題轉化為“兩點之間線段最短”的數學問題，提高符號意識和抽象概括能力；2、學生通過利用“兩點之間線段最短”這條基本事實，通過相關的計算，發展應用意識，提高分析問題和解決問題的能力。通過從特殊到一般的歸納、遞推和推理的過程來體會數學推理的必要性；3、學生通過解決實際問題培養了數學的應用意識，提高了學習數學的興趣，形成分析問題、解決問題、探究問題的方法，提高解決問題的能力，發展了思維能力；在實際解決問題的過程中體驗數學探究的樂趣，形成科學的學習態度和科學的探究方法.

教學重難點：

教學重點：探究“把蓄水池建在哪距離和最小”這個問題中，距離和轉化為什么？對最小時蓄水池的位置的探究過程，以及最小值的求法。推理探究的過程。

教學難點：實際問題數學后，怎么解決數學問題。其中的符號化，分類討論、歸納遞推都是本節的難點。

教學過程

（一）問題引入：課本159頁

1、請你結合題目分析這個問題可以轉化成什么數學問題？

蓄水池建在哪里較好？

在一條平直的道路旁，栽有n棵樹，且相鄰兩棵樹之間的距離相等。為了澆灌這些樹，護林隊計劃建一個蓄水池收集雨水，并要求此蓄水池到每棵樹的距離和最小，以便節約用水。那么蓄水池最好建在哪里？

（二）問題分析

平直的道路我們抽象成一條直線，n棵樹抽象成直線上的n個點，且這n個點每兩個點間的距離都相等。蓄水池也抽象成一個點，蓄水池到每棵樹的距離轉化為兩點間的距離。（圖略）

1、畫一條直線，分別用A1，A2，…，An表示n棵樹的位置。那不同的原點的取法對應不同的方法。（圖略）

2、怎樣表示距離和？

3、對于“n”的不同取值，探究當點P取在什么位置時，距離和“最小” .

設n=1、2、3、4、5，進行探究

學生先獨立思考，探究。然后小組交流，充分交流后展示自己的方法.（學生板書）

（三）問題解決

學生展示：對自然數n=1，2，3，4，5的特殊情況分別進行說明，再歸納整理，找出規律，得出一般結果（n為任意非零自然數的情況），并給予說明。

探究過程，蓄水池用P點表示，分為P點在數軸上和P點在數軸外，分別探究當n=1，2，3，4，5時的情況。

當n=1時，顯然蓄水池與A1重合時|A1P|最小。（圖略）

當n=2時，討論點P在直線外和點P在直線上，根據兩點之間線段最短，當點P在直線上時短。點P在直線上時，分為在A1點的左側，在線段A1A2上，在A2的右側三種情況。顯然在線段A1A2上時|A1P+A2P|=|A1A2|最短。（圖略）

同理討論n=3時，P應于A2點重合時|A1P+A2P+A3P|=|A1A3|+|A2P|距離和最小，當n=4、5時同理可得。（圖略）

歸納猜想：當n為奇數時，P應于中間的一個點重合時，距離和最小。（圖略）

當n為偶數時，P應在中間兩個點的線段上的任意一點時，距離和最小。

推理：當n=3時，我們把中間的一個點遮住，轉化成兩個點，利用n=2的結論，再考慮到遮住的這個點的距離，轉化為n=1是的情況，與此點重合。依次類推，總結出n為任意值時的結論成立。

下面我們來求出這個最小值，為了便于計算我們借助于數軸。每兩棵樹間的距離設為1個單位長度，向右為正方向，那原點我們選在哪呢？

原點的位置有多種選擇。比較特殊的兩種是：①取在A1處，其它點依次在原點的右側，并且這些點到原點的距離就等于它們所對應的有理數。②取在蓄水池的位置，即最中間的點處，這樣其它的點就對稱地分布在原點兩側了。

當n=2k-1為奇數時，我們選取蓄水池的位置為原點建立數軸，那么將原點放在第k棵樹的位置。

當n=2k為偶數時，那么將蓄水池放在第k棵樹與第k+1棵樹之間的任意一處，我們選擇中點為原點建立數軸。（圖略）

用數軸上的數來表示每個點。這是本題的一個難點。

求和：當n=2k-1為奇數時，蓄水池到各樹之間的距離和最小值為：2+4+6+…+2（k-1）=（k-1）k；當n=2k為偶數時，蓄水池到各樹之間的距離和最小值為：1+3+5+…+（2k-1）=k2；如果每兩棵樹間的距離為a則乘a即可。

（四）拓展與應用

上述問題中兩棵樹間的距離是相等的，如果不等，這個結論還成立嗎？

解決問題：.在一條直線上有依次排列的n（n>1）臺機床在工作，我們要設置一個零件供應站P，使這n臺機床到供應站P的距離總和最小。

（五）評價與反思

通過這節課的學習，你有那些收獲和感悟呢？

1、實際問題轉化成數學問題，構建數學模型的方法；2、數形結合、分類討論、歸納概括等解決問題的方法，是解決實際問題不可缺少的環節，尤其是遇到復雜問題時可用特殊值的辦法把復雜問題簡單化，探索出一般的規律；3、解決問題的多樣性。對不同的原點的取法，建立了不同的數軸，體會到思維差異的同時，要注意到最簡單的方法。

同學們通過本節課體會到了數學的應用性，學會分析問題解決問題，欣賞別人。

期待同學們能解決更復雜的問題，有更精彩的表現。

（五）作業：回顧本節課探究解決問題的方法，整理好歸納過程，總結自己的收獲。寫出一個小論文或總結。

六、板書設計（略）

七、教學反思：

開始準備本節課時并沒有想到本節課有如此大的價值，只是感覺本節課的結論有較多應用，尤其是在求如：|x+1|+|x-1|的最小值，等類型的題目中。隨著備課的深入，尤其是聽了梁麗斌老師在區教研活動中對綜合與實驗課的設置目的、在教材中的地位、意義的講座后，我對綜合實踐課有了新的認識。綜合與實踐課中設置了一個要探究的問題，對問題的研究，要綜合較多的知識，可能涉及到前面幾章的重要知識點，涉及到較多的方法，同時問題的課下延展以及解決問題時用到的方法，具備了常規課不具備的功能。對這節課的定位有了較多的轉變，從應用的角度轉化為探究問題本身。

上完課后，我對本節課有了更進一步的認識，看似簡單的問題，確非常有探究性，在探究的過程中，真正的激發了學生思維的火花。

讓我感覺收獲最大的有：1、在探究完n=1，2，3，4，5的特殊情況后，屈佳璇同學用轉化的方法把多個點進行逐一遮住兩個的方法轉化為已經推出的1，2的情況，無形中用到了數學歸納的證明方法，給了猜想一個非常嚴謹的證明，讓這個結論有了理論依據。2、陳子越把n為奇數時，距離和最小值為：（k-1）k；和當n為偶數時，距離和最小值k2，兩者之間的聯系也通過加一棵樹的方法聯系了起來。