2015年高考北京卷第19題的本質探究

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2015年高考北京卷第19題的本質探究

北京市陳經綸中學(100020)張留杰

題目(2015年高考數學北京卷(理科)19)

(1)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(用m，n表示)；

(2)設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N．問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由．

一、試題的分析與解答

本題從題目本身看屬于探究型問題，并且和角度有關，立意新穎．從解決問題的層面來看，雖然考查了直線與橢圓的位置關系，但是打破了“聯立—消元—根與系數的關系等”定勢思維．突出考查了圖形中“位置關系”如何向“數量關系”的轉化，考查了橢圓的對稱性．

(2)假設存在y軸上點Q(0,t)，使得∠OQM=∠ONQ，如圖1．

圖1

二、試題的本質探究

波利亞的《怎樣解題》中提出“回顧與反思”也許會有新的發現和感受．回顧上述解題過程，發現|OM|·|ON|的值恰好為橢圓中的a2，是巧合還是必然？發現點Q滿足△QON和△MOQ相似，由于橢圓可以看做由圓壓縮變換而來，于是思考：該問題在圓中是否有更本質的幾何解釋呢？筆者帶著這些問題做了如下探究．

探究1如圖2，圓O的半徑為R，PQ和CD是兩條互相垂直的直徑，點A在圓O上，且點A關于直徑CD的對稱點為B，直線PA交直線CD于點M，PB交CD于N，則OM·ON=R2．

圖2 圖3

簡證：依題意，易得四邊形APQB為等腰梯形，PA⊥AQ，AB⊥CD，所以 ∠QPB=∠QAB=∠AMN，即∠OPN=∠OMP，所以Rt△OPN∽Rt△OMP，所以OP2=OM·ON=R2，證畢．

根據圓的對稱性及OM·ON的值，發現結論和點P在圓上的位置無關．于是得出:

探究2如圖3，圓O的半徑為R，CD為一條直徑，點P、A在圓O上，點A關于直徑CD的對稱點為B，直線PA交直線CD于點M，PB交CD于N，則OM·ON=R2．

簡證：如圖3，作點P關于直徑CD的對稱點Q，連PO并延長交圓于H，連結BH，根據圓的對稱性，易得Q、B、M三點共線，且∠1=∠2．因為∠Q=∠H，∠Q+∠2=90°，∠H+∠3=90°，所以∠3=∠2，所以∠3=∠1，∠PON=∠MOP，所以△PON∽△MOP，所以得OP2=OM·ON=R2，證畢．

三、試題的一般性及推廣

根據探究2，大膽猜想在橢圓中結論|OM|·|ON|=a2也與點P的位置無關，于是有如下的一般性結論．

圖4

根據橢圓的對稱性可知，如果結論1中的點A與點B關于y軸對稱，還不難得出：

圖5

由于雙曲線和橢圓都是有心圓錐曲線，能否將這些結論推廣到雙曲線呢？經過進一步探究得出：

圖6

(證明過程可參考結論1，這里從略)

通過探究與推廣，得出了這道高考試題背后蘊藏的一般性結論，揭示了該問題所體現的橢圓性質的本質，深感高考試題的內涵豐富！