利用對稱性巧解函數穩定點問題

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利用對稱性巧解函數穩定點問題

浙江省紹興市魯迅中學(312000)陳少春虞關壽

近日在學校的一次教研活動中，筆者拋出了兩個關于函數不動點和穩定點的問題：

(2)若x0滿足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數f(x)的二階周期點.如果f(x)有兩個二階周期點x1，x2，試確定a的取值范圍.

對于第一個問題的解答，很多老師都會采用函數不動點和穩定點的一個性質：

對于第二個問題，參考答案所給出的方法是通過分類討論思想來求解，思考方式自然但過程冗長和繁瑣，學生若按這樣去思考與解答是很容易出錯的.為此我們就要考慮有沒有比較簡便的方法來解決這個問題？筆者認為要解決這個問題關鍵是找到不動點和穩定點的本質關系，為此筆者想對兩者之間的關系作一些探究，跟各位同行交流.

上面給出的函數不動點和穩定點的性質其實已經給出了兩者之間的一個關系，但筆者認為條件太強了，它要求這個函數是單調遞增的才能得到不動點集合A等于穩定點集合B.但是如果一個函數不單調，就沒法用這個性質解決，筆者在一些報刊雜志上看到過討論研究不動點和穩定點問題的文章，它們經常會引用一個例子：“已知二次函數f(x)=ax2-1(x∈R)，且f(x)的不動點集合A、穩定點集合B滿足A=B≠?，求實數a的取值范圍.”作為問題討論的依據.

下面筆者給出函數不動點和穩定點關系另一個常用的性質：

設f(x)是連續函數，其不動點集合為A={x|f(x)=x}，穩定點集合為B={x|f(f(x))=x}，則A=B當且僅當函數f(x)的圖像上不存在關于直線y=x(落在直線y=x上的點除外)對稱的點.

在證明這個性質前我們先來研究一下穩定點具有怎樣的幾何性質，我們都知道不動點都是穩定點，那么除了不動點之外還有沒有別的點也是穩定點呢？我們不妨設x0是函數y=f(x)的一個穩定點(x0≠f(x0))，即f(f(x0))=x0，令t=f(x0)，則x0=f(t).由上可得(x0,t)，(t,x0)是函數y=f(x)圖像上的點且f(f(t))=t，即t也是一個穩定點，從而得到不是不動點的穩定點的個數一定是偶數且這些穩定點是兩兩關于直線y=x對稱的，所以穩定點集合由不動點和函數圖像上關于直線y=x對稱的點的橫坐標構成.接下來我們證明上面給出的性質.

證明：(充分性)當A=B時，即穩定點都是不動點(落在直線y=x上的點的橫坐標)，故函數f(x)的圖像上不存在關于直線y=x(落在直線y=x上的點除外)對稱的點.

(必要性)反證法，假設A≠B，則存在x0滿足f(f(x0))=x0，令t=f(x0)且t≠x0，則x0=f(t).即(x0,t)，(t,x0)都是函數y=f(x)上的點，與函數f(x)的圖像上不存在關于直線y=x(落在直線y=x上的點除外)對稱的點矛盾.命題得證.

研究清楚了不動點和穩定點的關系后，下面例舉幾題體會該性質給問題解決帶來的方便.

(2)若x0滿足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數f(x)的二階周期點.如果f(x)有兩個二階周期點x1，x2，試確定a的取值范圍.

解：(1)略.

圖1

圖2

根據上面的解題過程，我們可以對該題作進一步的推廣：

圖3

證明：由

例3已知實數集為R，f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R)且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f(f(x)),x∈R}，那么

(1)當a=1，且A={-1,3}時，B=；

(2)A與B的關系為；

(3)當b=0,c=-1,且A=B≠?時，求實數a的取值范圍.

解：(1)f(x)=x2+bx+c，-1,3是方程f(x)=x的兩個不同實數根，則由韋達定理知-1+3=1-b，-1·3=c，∴b=-1，c=-3.

(2)A?B；

(3)f(x)=ax2-1，若a=0不符合題意；

例4已知函數y=f(x)，若存在x0，使得f(x0)=x0，則稱x0是函數y=f(x)的一個不動點，若x0滿足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數f(x)的二階周期點.設二次函數f(x)=ax2+(b+1)x+b-2.

(1)當a=2,b=1時，求函數f(x)的不動點；

(2)若對于任意實數b，函數f(x)恒有兩個不同的不動點，求實數a的取值范圍；

(2)對任意實數b，方程ax2+(b+1)x+b-2=x恒有兩個不同的根，即ax2+bx+b-2=0恒有兩個不同的根.∴Δ=b2-4a(b-2)=b2-4ab+8a>0對任意實數b恒成立，Δ1=16a2-32a<0，

∴0

參考文獻

[1]彭佳麒.函數的不動點和穩定點[J].數學教學，2011(7)：37.

[2]2013全國及各省市高考試題全解.