雙參數(shù)恒成立不等式中含參函數(shù)的最值問題初探——兼談“函數(shù)最值難確定”時的變通策略

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雙參數(shù)恒成立不等式中含參函數(shù)的最值問題初探
——兼談“函數(shù)最值難確定”時的變通策略

浙江省衢州第二中學(324000 )傅建紅

在高三復習中，筆者常常遇到類似如下的兩類恒成立不等式問題：(1)“若不等式f(x,a)≤0對一切x∈[m,n](m

一、預備性質

性質1已知a,b∈R，(1)max{a+b,a-b}=a+|b|；(2)min{a+b,a-b}=a-|b|.

證明：(1)因為max{a+b,a-b}=

性質2已知a,b∈R，(1)max{|a+b|,|a-b|}=|a|+|b|；(2)min{|a+b|,|a-b|}=||a|-|b||.

性質3(1)“V型”函數(shù)(左減右增)在閉區(qū)間內的最大值僅在區(qū)間端點處取得；(2)“W型”函數(shù)(減增交替2次)在閉區(qū)間內的最大值在區(qū)間端點或極大值點處取得.

說明：“V型”、“W型”僅示意函數(shù)f(x)在其自然定義域D上的大致形狀，而函數(shù)在其實際定義區(qū)間[m,n](n>m)([m,n]?D)上的形狀可能不再是“V型”、“W型”.事實上，“V型”函數(shù)在閉區(qū)間[m,n](m

max{max{f(m),f(n)},f(x0)}(其中x0是f(x)的極大值點).換言之，由于在閉區(qū)間[m,n](m

性質4已知xi,r∈R(i=1,2,…,n)，(1)max{x1,x2,…,xn}≤r?xi≤r(i=1,2,…,n)；(2)min{x1,x2,…,xn}≥r?xi≥r(i=1,2,…,n).

說明:性質3、4的正確性都是顯而易見的，證明從略.

二、舉例說明

例1(2015年·浙江(理)改編) 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).

(1)若f(x)≤2對x∈[-1,1]恒成立，求a+b的最大值；

(2)若|f(x)|≤2對x∈[-1,1]恒成立，求|a|+|b|的最大值.

解：(1) 由題意，f(x)max≤2(x∈[-1,1]).易知f(x)為“V型”函數(shù)，所以f(x)在[-1,1]上的最大值f(x)max=max{f(1),f(-1)}.因為f(1)=(1+b)+a，f(-1)=(1+b)-a，故由性質1得，f(x)max=1+b+|a|，所以題意即為b≤1-|a|.在直角坐標系aOb下，畫出不等式b≤1-|a|對應動點(a,b)的可行域(如圖1).設z=a+b，它對應的直線為l，易知z的幾何意義為l在b軸上的截距.觀察圖像可知，當l平移至與陰影的右邊界重合時(A(0,1)為其中一個最優(yōu)解)，z取得最大，即zmax=0+1=1.

圖1 圖2

例2(2014年浙江(理)改編)已知a,b∈R，函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|.

(1)若f(x)+b≤2對x∈[-1,1]恒成立，求3a+b的最大值；

(2)若|f(x)+b|≤2對x∈[-1,1]恒成立，求3a+b的最小值.

解：(1)由題意f(x)=

圖3 圖4

(2)易知當a≤-1及a≥1時，|f(x)+b|為“單調型”或“V”函數(shù)，而當-1

|f(x)+b|max=max{|f(1)+b|,|f(-1)+b|,|f(a)+b|}.∵|f(1)+b|=|1+3|a-1|+b|，|f(-1)+b|=|-1+3|a+1|+b|，|f(a)|

+b=|a3+b|，故由題意結合性質4得，|1+3|a-1|+b|≤2、|-1+3|a+1|+b|≤2、|a3+b|≤2.在直角坐標系aOb下，分別畫出不等式b≥-3|a-1|-3、b≤-3|a-1|+1、b≥-3|a+1|-1、b≤-3|a+1|+3、b≥-a3-2、b≤-a3+2對應動點(a,b)的可行域(如圖4).設z=3a+b，它所對應的直線為l，易知z的幾何意義為直線l在b軸上的截距，觀察圖中陰影易知，當l平移至點A(0,-2)時，z取得最小，即zmin=3×0+(-2)=-2.

點評：上述兩題的解法如出一轍：(1)首先判斷函數(shù)在其自然定義域內是“單調型”、“V型”還是“W型”，以便由性質3了解函數(shù)在其實際定義區(qū)間內的最值可能出現(xiàn)在哪幾個之中，然后利用性質4對區(qū)間端點和極值點進行“整體控制”；(2)在平面直角坐標系aOb下，畫出“整體控制”下所得不等式(顯然它們是關于變量a,b的約束條件)中動點(a,b)的可行域，然后利用線性規(guī)劃，求出目標函數(shù)z=h(a,b)的最值(此解法對曲線作圖的要求較高).不難看出，利用性質可以回避繁瑣、細碎的分類討論，使問題的解決更直接、更快捷；利用線性規(guī)劃可使問題自然直觀、一目了然，從而體驗此類問題中“與眾不同”的數(shù)形結合.

綜上可知，當含參恒成立不等式遭遇“函數(shù)最值難確定”的挑戰(zhàn)時，我們可以不必正面強求，而是順其自然、“避實就虛”，通過對“可能最值”的“整體控制”，從而使問題變通解決.但“整體控制”之后仍有很長的路要走，此時“曲線作圖”和“線性規(guī)劃”就猶如一套“組合拳”，它們在通往參數(shù)函數(shù)最值的途中功不可沒.

參考文獻

[1]章麗.也談含參不等式恒成立問題的解法探究[J].中學數(shù)學,2014，(2)：83-84.