一道奧林匹克試題條件的商榷

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一道奧林匹克試題條件的商榷

江蘇省泰州市姜堰區沈高鎮夏朱村(225538)陳羅英江蘇省姜堰中等專業學校(225500)陳宇

圖1

在探求該題別證的過程中，筆者發現該題的條件“銳角⊿ABC”的“銳角”是否多余，有待商榷.

首先給出一個別證.

圖2

∵I為內心，點E在⊿ABC的外接圓上，

又∵∠EIC=∠IBC+∠ICB=∠ACE+∠ICA=∠ECI，知⊿EIC為等腰三角形，EC=EI(4).

結果是，無論是參考答案，還是本文之證法均沒有用到 “銳角⊿ABC” 的“銳角”這一題設條件.

圖3

可見，點N在線段MC上的兩端點M，C之間.則⊿ABC的內心I在角平分線AN上的兩端點A,N之間.因而內心I在⊿AMC內. MI與邊AC的交點D在邊AC上的兩端點A,C之間.此時，點D在邊AC上的位置與⊿ABC的形狀無關.

同理，AB=AC，則MI與邊AC的交點D與邊AC上端點A重合(如圖4).

AB

圖4 圖5

綜上所述，MI與邊AC的交點D在邊AC上的位置只與∠BAC的兩邊AB,AC的大小相關，而與⊿ABC的形狀無任何關聯.

對于題設條件“銳角⊿ABC”的“銳角”值得商榷.

若不是命題者有意干擾解題者的審題及方法的

探求，則該條件多余.

數學一門是非常嚴謹的學科.這種嚴謹包括了其知識的真實，思維的縝密和教學的嚴肅，同時也必須在數學問題和解決上體現其嚴謹.當然在競賽題中更不能出現有悖數學嚴謹的問題.筆者以為，該賽題中的條件“銳角”多余，應去除.

進而，該試題及兩個變式可統一為：

該統一題的證明，除需按MI與直線AC的交點D在直線AC上的位置分類作圖外(如圖3,4,5)，證明過程可統一——亦如本文之別證或參考答案的證明過程.幾乎一字不差(此略).有興趣的讀者不妨一試.

上述變式及統一，并非刻意而為.因為這種變式、統一及解題的普適性，能促進學生產生有效的聯想，提升學生的思維能力和解題能力.

參考文獻

[1]第11屆中國東南地區數學奧林匹克,中等數學,2014,10(第26～30).