大半徑短圓弧的誤差分析及測量方法

【摘 要】大半徑短圓弧（一般為30?以下圓心角所對應的圓?。┑臏y量一直是精密測量中的一道難題，主要原因是采樣策略和敏感系數引起測量誤差，所以測量的重復性差。本文以多年的實際操作經驗為基礎，通過分析誤差原因，提出一種精度高、效率高的大半徑短圓弧樣板量具和零件的測量處理方法，并在工作中取得良好效果。

【關鍵詞】大半徑短圓?。徽`差分析；測量方法

在工件測量中，經常有一些大半徑短圓弧測量要求，在僅提出半徑尺寸要求（有時包括圓心坐標要求），而無形狀公差要求，或者僅有較大范圍的半徑尺寸公差要求的情況下，短圓弧的半徑（圓心）的直接測量是無法實現的，甚至有文章提出在圓心角一定小的情況下，圓弧是不可測的。本文分析了測量誤差原因，提出在有形狀公差要求或合理的半徑尺寸公差要求的前提下，可以通過測量短圓弧形狀誤差，達到判定工件是否合格的目的，進而也說明了圓弧的參數（半徑和圓心位置）固然重要，其第三參數形狀公差（輪廓度或圓度）在工件特征控制中的重要性。

1.大半徑短圓弧的測量誤差分析

由測量原理，三坐標測量機（CMM） 直接測得的是被測工件上一些特征點的坐標位置，為了獲得被測參數值，需要通過測量軟件的數據處理和運算。因此，被測參數的測量準確度主要與 CMM 的系統誤差、測頭系統誤差、工件形狀誤差、算法誤差、環境誤差、采樣策略和敏感系數等因素有關。而對于大半徑短圓弧測量，采樣策略和敏感系數對準確度的影響更大。

1.1采樣策略引起的誤差

采樣策略是指如何在被測物體表面合理安排采樣點，采集多少點最為合理，且使檢測誤差達到最小。所謂合理是指在同一臺測量機上，在相同的環境下，測量同一個零件，怎樣安排測量點的位置和測量點數，可以獲得較高的測量準確度，且耗費的時間比較經濟。采樣數量和采樣位置會影響測量結果的原因在于：（1）被測元素并非理想元素，存在形狀誤差。（2） CMM 采點及計算方法有局限性，存在測量誤差。

下面以圓形工件為例說明采樣策略對測量結果的影響。圖 1所示工件的實際圓形具有三葉形誤差，第一次測量選取 1，2，3 三點時，測得的直徑為最??；第二次測量選取4，5，6三點時，測得的直徑最大。由于工件在三坐標測量臺上是任意擺放的，測量結果可能是兩次測量結果之間的任意值。這是被測元素形狀誤差對測量結果的影響。

1.2敏感系數引起的誤差

敏感系數也稱為誤差放大系數，是測量值誤差與測量機精度的比值，常用“敏感系數”來量化表示結論和初始參數之間的關系，即用它來評價測量點誤差對被測結果的影響。例如用三點來測圓弧，是用每兩點連線的中垂線相交來求圓弧半徑及中心點位置，當這三點所夾中心角越小時，各點的精度對兩點中垂線相交點位置影響就越大。測量機測空間點坐標精度很高，但并不等于對具體幾何特征（例如圓?。┑臏y量結果精度很高，這是因為從點坐標到具體幾何特征的測量結果需要有一個計算的過程，其中很多問題是數學方法產生的。測量機的數學方法一般是基于空間解析幾何的運算，這種數學方法方法應當重復性好，并為生產所接受。

采用三點測“兩大夾一小”的大半徑短圓弧時，大半徑短圓弧的圓心角對圓心位置及半徑測量的敏感系數如下公式所示，與“兩小夾一大”的大半徑短圓弧的敏感系數公式相同，僅誤差數據符號相反。

其中：為圓心坐標誤差放大倍數；為半徑測量誤差放大倍數；為圓心坐標誤差；為半徑誤差；為測量機精度；為大半徑短圓弧對應圓心角。

該公式表明，當圓心角較小，圓弧較短時，較小的精度誤差被成倍放大，形成了很大的測量誤差，可將原本符合形狀公差及尺寸要求的圓弧，測量成為不合格產品。例如當e=0.005mm，圓心角小于10°時，半徑測量誤差將高達2.625mm，那么這擴大了500 倍后的誤差結果顯然是無法接受的，所以大半徑短圓弧是無法用通常測量圓的方法來進行。

2.減小誤差的測量方法

通過分析技術文獻，研究人員提出了多種大半徑短圓弧測量改進方法，例如密集采點法、分段密集采樣的圓心的最小二乘法、圓的最小二乘法+最小條件逼近法、圓心固定法、極徑測量法、坐標測量法。但這些測量方法有的精度低，有的耗時長，可操作性較低。為解決上述問題，在實際測量工作中可采用了如下測量處理方法，基本原理和步驟簡要介紹于下。

上述分析說明，由于敏感系數的存在，使圓弧半徑和圓心位置的測量數據不可信，不能通過直接測量大半徑短圓弧的半徑與圓心位置的方法來評價工件是否合格。但是這并不能說明大半徑短圓弧是不能測量的，關鍵在于圓弧形狀公差的設計以及形狀誤差的測量。那么，要避開敏感系數的唯一辦法，就是間接測量圓弧的形狀誤差。當然，如此測量的前提是，圖紙必須有該圓弧形狀的公差要求。

在實際生產中，為完成大半徑短圓弧的精密測量，確定工件加工是否合格，我們假設該段圓弧的圓心位置與半徑尺寸為理論值，然后均勻測量圓弧上多點的坐標得到各半徑值，確定其形狀誤差是否符合要求，以此推斷假設是否成立。大半徑短圓弧的圓心坐標與半徑值，在圖紙上標有名義值和公差值。從數學角度講，零件上那大半徑短圓弧已設計確定。這圓心坐標與半徑值是一對完全相關量，只要確定了圓心坐標值，就能相應確定半徑值。無論從設計大半徑短圓弧的使用功能角度，還是從加工大半徑短圓弧的工藝角度來說，都是以圓心坐標為基準值來計算圓弧。

3.總結

本文分析了大半徑短圓弧測量誤差的產生原因，發現圓弧圓心角越小，圓心坐標和半徑誤差越大。在此基礎上提出了一種方便操作、精度高的改進測量方法，按照流程進行一系列操作，即可快速準確判定工件是否合格，大大提高了大半徑短圓弧特征的測量效率。在實際工作中，筆者多次運用該測量方法測量小段圓弧，結果令人滿意。相信隨著測量技術的不斷提升，會出現更多經濟可行的測量方法。

參考文獻：

[1]張國雄.三坐標測量機[M].天津：天津大學出版社，1999.

[2]王文書.三坐標測量機對大半徑短圓弧的測量實踐[J].上海計量測試，2010（4）：44-45.

作者簡介：

張梅（1963-）女，長春市人，長春軌道客車股份有限公司轉向架制造中心生產部工程師.研究方向：計量。