淺談兩種常用電勢零點選擇的兼容性

冀 敏 蔣 平（復旦大學物理系，上海 200433）

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淺談兩種常用電勢零點選擇的兼容性

冀 敏 蔣 平
（復旦大學物理系，上海 200433）

摘 要高校基礎物理教學必然涉及電勢的零點選擇．通常除選無窮遠處為電勢零點外，實用上還選地球的電勢為零．當不考慮地球自身所帶的電荷時可將其看作一碩大的中性導體球．如地球周圍空間并無電荷分布，空間不存在電場；因而必與無窮遠處等勢．如取無窮遠處為電勢零點，地球的電勢必也為零．當地球上分布有限電荷時，由于其電容很大，電勢改變甚微，仍可在一定近似程度上看作零；即地球和無窮遠二者均取作電勢零點近似兼容．3．3×10(－5)C的正電荷分布在地球表面時電勢不到0．05V．但是，由于地球本身帶有負電荷，使其周圍存在指向地面的電場，地球和無窮遠處取作電勢零點便不再兼容．

關鍵詞零電勢；電容；兼容

高校基礎物理教學總要提到電勢零點選擇的問題．一個物理量的零點需要選擇，往往說明這個物理量的數值只有相對意義，所謂零點也只是一個數值不變的參考點；只有兩個數值之差才具有明確的物理意義．在物理教學中需要選擇零點的物理量并不鮮見，重力勢能或物體和地球之間的引力勢能就是一典型的例子．事實上重力勢能的零點可以選在重物與地心相距r時，而r可在0～∞之間任意變化．不過，在中學階段常取r＝R，R為地球半徑；即重物位處地面時為重力勢能的零點；但在高校基礎物理教學里往往更喜歡取r＝∞為引力勢能的零點．然而，重力勢能的零點雖然可任意選擇，不同位置的勢能零點間卻并不兼容．例如選物體處地面時作引力勢能的零點就不能再認為其距地心無窮遠處時引力勢能為零．電勢也是需要選擇零點的物理量，而且在以上兩方面恰可以與重力勢能相對照．一是靜電勢的零點不能任意選擇，這是因為，一般而言空間任意一點的電勢會受到我們所考慮的體系中電荷及電場分布的影響而改變．因此，如隨意將某點選做電勢零點并不能保證其電勢不會變化，從而失去電勢參考點的作用．二是靜電勢的零點雖然不能任意選取，可常用的兩種電勢零點——無窮遠處和地球卻在一定的近似條件下兼容；就是說如將距電荷體系無窮遠處選作電勢零點可同時將地球的電勢也看作零．幾乎每一本高校基礎物理教材都會做這樣的交代：如我們感興趣的電荷體系分布在有限空間則可取無窮遠處為電勢零點（這是因為有限范圍內局域化的電荷分布或電場分布的變化并不能波及無窮遠處，因而無窮遠處的電勢永不改變，符合電勢參考點的要求）．同時，由于實際的靜電屏蔽和安全保護等方面的要求常將某導體接地，因而又常取地球的電勢為零．然而，只有不多的教材討論這兩處電勢零點選擇的兼容性［1］，就是說對電荷分布在有限空間的情形，如選取無窮遠的電勢為零是否可同時認為地球的電勢為零且不發生變化；反之亦然．

本文即對這一問題作比較詳細的分析，討論選取地球作電勢零點的合理性及其與無窮遠零點的兼容性．

在分析這一問題時，我們首先不考慮地球本身所帶的電荷，即將地球看成一巨碩的電中性導體球．在這一模型的前提下，無疑，如空間不存在其他電荷，從地球表面直到無窮遠處均不存在電場，地球和無窮遠處沒有電勢差．因此，如選取無窮遠處為電勢零點，地球電勢必也為零．如果地球附近存在導體系，其中有局域化的電荷分布，即電荷分布在地球附近的有限空間里，則可能因靜電感應而在地表形成感應電荷；或者因導體接地而與導體系之間直接產生電荷交換從而也會在地表產生電荷分布．不過，由于如此形成的地球表面的電荷往往總量有限，且要分布在全部地球表面，除去與我們感興趣的電荷體系相距最近的部分（可稱為地球近端）而外，其他部分，包括與電荷體系相距最遠的地球遠端的電荷面密度實際為零，如圖1所示．如此，由于導體表面的電場強度為σ／ε0，σ為電荷面密度，ε0為真空介電常數，遠端地表電場強度近似為零，而且從這一遠端直至無窮遠處均無電場，從而地球遠端和無窮遠處實際上無電勢差．又因為作為巨大導體球的地球本身應為一等勢體，便得到地球電勢仍為零的結果．換言之，即使空間存在電荷分布，只要電荷分布在有限空間且電荷量有限，無窮遠處的零電勢便與地球選為電勢零點二者近似兼容．這一定性分析可以用一定量的例子予以佐證．設想兩等量同號的點電荷，彼此間相距1m時的排斥力為9．8N，即1kg物體的重力，則每個點電荷的電荷量約為3．3×10－5C．而數量為3．3×10－5C的正電荷如均勻分布在地球表面，其電勢（將無窮遠處選為電勢零點）約為47mV．可見，與“零”相差無幾；即在一定的近似程度下可以認為地球電勢也為零．就是說，在通常所涉及的情形下認為無窮遠與地球均為零電勢并不會產生太大的誤差；或者說這兩種零電勢的選擇在一定的近似條件下是兼容的．其實，問題的關鍵在于地球“大”．將地球看作一巨型導體球，其電容C＝4πε0R很大，而電勢為為其上的電荷．可見，因為R足夠大，這一大電容導體上有限的電荷變化并不能明顯地改變其電勢．

圖 1

下面就兩個常見的例子討論在體系涉及地球的情形如取地球和無窮遠的電勢同時為零如何分析體系中的電勢分布．

例1：使一半徑為R1帶正電Q的導體球靠近一棒狀絕緣導體，如圖2所示．由于靜電感應，導體棒近端C處出現感應負電荷，因而導體球上的電荷及其周圍的電場分布要發生變化，不再有球對稱．值得注意的是，由于棒距導體球的遠端D出現正電荷，其附近電場不為零，因而將單位正電荷由D點沿棒的軸線向右移至無窮遠的過程中電場力做正功不為零．換言之，此時棒的電勢大于零．如此時再將D端接地，如圖3所示，則該處感應正電荷應消失而分布至全部地球表面．實際上導體棒此時已成為地球的延伸部分，當然電勢由大于零降為零，因為原在D處的正感應電荷不復存在，影響消失．同時，由于導體棒C端感應負電荷的影響，導體球的電勢低于孤立導體球的電勢．

圖 2

圖 3

圖 5

例2：這是一道經典的練習題．設上述帶電導體球外同心套一內外半徑分別為R2和R3的導體球殼構成一球形電容器，由于導體球自身帶正電荷Q，靜電感應使球殼內表面帶負感應電荷－Q，而外表面則帶正感應電荷Q．若此時將外殼接地，其外表面感應電荷消失而分布至地球表面，如圖4所示．但球殼內表面的電荷與球殼內的電場分布均不改變．顯然，此時球殼外的電場實際上消失，球殼電勢應近似為零；零電勢既是無窮遠處的電勢也是地球的電勢，兩個電勢零點兼容．注意此時導體球的電勢為為此球形電容器的電容．如果現在將球殼接地線拆去，改使導體球接地，如圖5所示．在兩個電勢零點兼容的前提下導體球的電勢將從V降至地球的零電勢．其上電荷也由Q降至Q′，經計算可得Q′＝同時，外球殼電勢也從零下降為負．導體球的這一電勢下降是由于導體球上正電荷的減少．此時，導體球和球殼間的電勢差下降至恰與球殼負電勢的絕對值相等．

應該指出，如體系的電荷分布延伸至無窮遠處，以上討論不再適用，因為此時不再能選擇無窮遠處為電勢零點．

必須強調的是，以上的討論都是以地球為電中性作前提的．事實上地球表面存在負電荷，而等量正電荷存在于電離層內；因此可用一巨大的充電球形電容器來模擬地球附近的電學狀態．地球表面的電場達100V／m以上的高值［2］，一般而言是不應被略去的．從這一點來說，如真取無窮遠處為電勢零點，地球的電勢將為負數十萬伏，完全不能看作零．不過計及地球本身的電荷，由于地球碩大，雖然仍可將地球作為電勢的參考點取為零電勢，只是不再能將無窮遠也取為電勢零點使二者兼容．而且，地球表面的一切靜電現象原則上應考慮地球本身電場的作用．如要消除地球電場的影響，靜電學的實驗應在大的屏蔽室內進行．屏蔽室四壁和房頂、地板均用金屬網可靠接地，且作為實驗對象的電荷體系也應置于屏蔽室當中而遠離四壁、房頂和地面．這樣，接地的屏蔽網既可當作地球的延伸，又可當作無窮遠而不受體系電場的影響．

參考文獻

［1］ 陳秉乾，王稼軍．電磁學［M］．北京：北京大學出版社，2003：34－35．

［2］ 張三慧．電磁學［M］．2版．北京：清華大學出版社，1999：115－116．

SHALLOW TALK ABOUT THE COMPATIBILITY OF TWO COMMON SELECTIONS FOR THE ZERO POINT OF ELECTROSTATIC POTENTIAL

Ji Min Jiang Ping
（Department of Physics，Fudan University，Shanghai 200433）

AbstractBasic physics teaching in college necessarily involves the choice of zero point of electrostatic potential．Usually infinity is chosen as zero point of electrostatic potential，but practically the electrostatic potential of earth is also chosen as zero．When the inherent negative charge on the earth is not considered，the earth can be modeled as a huge neutral spherical conductor．If there is no charge surrounding the earth，there is no electric field in space．So the earth has equal electrostatic potential to infinity．When the charge distribution on the earth is considered，there is just little change on its electrostatic potential because of the huge capacitance of the earth．Qualitative and quantitative analysis show that two selections of zero point of electrostatic potential are approximately compatible．For example，the potential of the earth is less than 0．05Vwhen the positive charge on its surface is 3．3×10(－5)C．However，due to the inherent negative charge on the earth，the electric field pointing to the ground exists surrounding the earth．In this case，the two selections of zero point of electrostatic potential are no longer compatible．

Key wordszero potential；capacitance；compatibility

通訊作者：蔣平，男，教授，主要從事物理教學與研究，科研方向為凝聚態物理．pjiang＠fudan．edu．cn

作者簡介：冀敏，女，副教授，主要從事物理教學與研究，科研方向為醫學物理．jimin01＠fudan．edu．cn

收稿日期：2015－10－16