對北京市2015年高考理綜第24題的思考

胡繼超（中國人民大學附屬中學，北京 100080）

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對北京市2015年高考理綜第24題的思考

胡繼超
（中國人民大學附屬中學，北京 100080）

摘 要2015年北京高考物理卷立意新穎，注重理論聯系實際，其中第24題涉及光電池的電動勢和內阻問題，對于光電池是中學教學較少討論過的問題，題目標準答案使用了借助光電池伏安特性曲線的方法求解光電池的電動勢和內阻．本文針對標準答案的解法討論了當光電池入射光照射時逸出光電子的初動能分布不同時，光電池的伏安特性曲線也不相同，因此必須交代逸出光電子的初動能分布規律，才可以確定光電池的伏安特性曲線，并進一步求解電源的電動勢和內阻．文章還討論了怎樣的光電子初動能分布規律，才可以使光電池的伏安曲線為線性．

關鍵詞2015北京高考；光電效應電源；光電池電動勢和內阻；光電池中光電子初動能分布規律與其伏安特性曲線之間的關系

2015北京市高考理綜第24題：

真空中放置的平行金屬板可以用作光電轉換裝置，如圖1所示．光照前兩板都不帶電．以光照射A板，則板中的電子可能吸收光的能量而逸出．假設所有逸出的電子都垂直于A板向B板運動，忽略電子之間的相互作用．保持光照條件不變．a 和b為接線柱．

圖1　平行金屬板示意圖

已知單位時間內從A板逸出的電子數為N，電子逸出時的最大動能為Ekm，元電荷為e．

（1）求A板和B板之間的最大電勢差Um，以及將A、B短接時回路中的電流I短．

（2）圖示裝置可看作直流電源，求其電動勢E和內阻r．

（3）在a和b之間連接一個外電阻時，該電阻兩端的電壓為U．外電阻上消耗的電功率設為P；單位時間內到達B板的電子在從A板運動到B板的過程中損失的動能之和設為ΔEk．請推導證明：P＝ΔEk．

（注意：解題過程中需要用到、但題目沒有給出的物理量，要在解題中做必要的說明）

此題標準解答如下：

（1）由動能定理，Ekm＝eUm，可得

短路時所有逸出電子都到達B板，故短路電流

（2）電源的電動勢等于斷路時的路端電壓，即上面求出的Um，所以

電源內阻

（3）外電阻兩端的電壓為U，則電源兩端的電壓也是U．

由動能定理，一個電子經電源內部電場后損失的動能

設單位時間內有N′個電子到達B板，則損失的動能之和

根據電流的定義，此時電源內部的電流

此時流過外電阻的電流也是I＝N′e，外電阻上消耗的電功率

所以P＝ΔEk．

在本題中，題目所描述的實驗裝置可以看做是一個加以限制的理想光電池，有老師和學生對于本題第二問有疑惑，本文對第二問分析如下：

對于傳統的電源來說：電動勢數值上是把單位正電荷從電源負極通過電源內部移到正極的過程中，非靜電力所做的功的大小．即：

而電源的內阻則是自由電荷在電源正負極之間移動時，表征電源內部材料對電流呈現阻力、損耗能量的物理量．不同類型的電源微觀上產生電阻的本質各不相同．通常我們使用兩種方法計算內阻阻值．第一種方法是根據能量關系，電源的內阻等于單位時間在內電路產生的焦耳熱與電流平方的比值，即．第二種方法則是根據閉合電路的歐姆定律，電源的內阻等于內電路的電勢降與內電路電流強度的比值，即對化學電池和電動機等線性電源來說，內阻按照這兩個定義計算的結果是相同的．

實際計算中，如果使用第二種方法，經常會借助電源的U—I曲線．對于化學電池等線性電源，其路端電壓U與電流I關系的U—I曲線如圖2所示，兩者呈線性關系，對于這種電源，由閉合電路的歐姆定律，可得：電源的開路電壓數值上為電源電動勢E的大小，開路電壓與短路電流的比值即為電源的內阻r，本題所給的標準答案就是使用這種方法求解的．

圖2　線性電源的伏安特性曲線

那么對于光電池，當直接使用此光電池的U—I曲線來判斷電源的電動勢和內阻將得到什么樣的結論呢？首先我們要確定光電池的U—I曲線是不是如圖2所示的線性關系．

題目中，只是假設了所有A板逸出的光電子初速度的方向都是向著B板，并沒有交代這些從光電池的A板逸出的光電子中，各種不同初動能的光電子個數占從A板逸出的總光電子數的比例．實驗中，如果使用如圖3所示的光電管，將光電管連入圖4所示的電路，測得靈敏電流計的示數I與電壓表示數U關系應如圖5所示，圖5中，加在光電管兩極間的反向電壓越大，則流過靈敏電流計的電流越小，這是因為當光電管加反向電壓時，光電子由光電管陰極向陽極運動的過程中，兩極間的電場力做負功，只有初動能大于｜Ue｜的電子才能到達陽極，形成光電流．所以，由圖5中每一個反向電壓值U所對應的電流I，可以求出每一秒由光電管陰極逸出光電子中，初動能大于｜Ue｜的光電子個數

圖3　光電管示意圖

圖4　測伏安特性電路

圖5　光電管中伏安特性曲線

從圖5中我們可以分析出：光電管的陽極逸出的光電子的初動能既不是一個統一的最大值Ekm，也不是從零到最大值Ekm之間完全等概率分布的．而在下文的討論中我們會發現圖1裝置中光電池的U—I曲線是和光電池負極逸出光電子的初動能分布概率有關的，要想使用光電池的U—I曲線計算電源的電動勢和內阻，必須先知道逸出光電子初動能的分布概率．

在此，先討論最簡單的一種特殊情況：若所有光電子都以最大初動能Ekm從光電池的A板逸出．此時若外電路斷路，光剛開始照射時，由于不斷有光電子到達B板，使兩板間的電壓逐漸升高，而隨著兩極板間反向電壓的增大，能夠到達B板的光電子數量將會隨之減小，當兩板間的電壓達到后，兩板間的電壓等于截止電壓，此后B板上的電子數量將不再增加，可以等效理解為此時所有的光電子在無限接近B板時，在電場力的作用下，電子的速度減為零，然后又返回A板，此過程中，不再有光電子能夠到達B板．

之后如果在AB兩板間接入一個外電阻，由于B板不斷的有電子通過外電阻導走，B板上電荷數量減少，于是就又開始有電子到達電源的B板，以試圖維持B板總電量不變．每秒到達B板的電子數量肯定不能多于通過電阻導走的電子數目，也不可能多于每秒從光電池的A板逸出的光電子數量．當接入的電阻阻值（N為每秒從A板逸出的光電子數目）時，此時A極板每秒逸出的光電子數又由歐姆定律，當兩極板間電壓為Um時，從外電阻流過的電流所以每秒從B極板流經外電阻的電子個數N′＝可見N′＜N．因此每秒從A板逸出的光電子中只會有個補充到B板，使B板的凈電荷保持不變，兩板間電壓維持Um也不變，而另外N－N′個電子則會在兩板間電場力的減速作用下，重新返回到A板．此時兩板間路端電壓U始終保持 不變，光電池的U—I曲線如圖6中的AB段所示．

圖6　電壓、電流關系圖

由以上關系圖我們不難看出，此電源的路端電壓U與電流I關系為一分段函數．此處，并沒有傳統意義的恒定電動勢和內阻．如果僅從此電源輸出的U—I曲線來看，可認為當外電阻時，電源電動勢恒為內阻r＝0；而當它的物理意義為：每秒從A板逸出的光電子中，初動能為Ek的電子數與總電子數N的比值，顯然有：

若A極板逸出的光電子初動能Ek在零到最大值Ekm之間是完全等概率分布的，則f（Ek）為定時，電源相當于恒流源，電動勢和內阻均為無限大．

那么此電源兩極板間的電壓和電流關系有沒有可能是如圖2所示的那種線性關系呢，我們再來討論第二種特殊情況，所有A極板逸出的光電子初動能在零到最大值Ekm之間是完全等概率分布的，也即我們可以定義一個從A板逸出的光電子動能的分布函數值．此時，在兩極板間接入外電阻R，設此時電路中的電流為I，則兩板間的路端電壓U＝IR．所有從A板逸出的光電子中，在從A板到B板的過程中，電場力需做負功Ue，所以初動能小于Ue的那些光電子都不能打到B板上，只有初動能大于Ue的光電子才能打到B板，從而在回路中形成電流，根據A板逸出光電子初動能的分布函數可知，共有個電子的動能大于Ek．此時有

當然，這只是從該光電池的伏安特性曲線分析其電動勢和內阻，如果我們按照電源電動勢和內阻的定義，用把單位正電荷從電源負極通過電源內部移到正極的過程中，非靜電力所做的功與電荷電量的比值來計算電動勢，以電荷在電源內部移動時的焦耳熱來分析電源的內阻又會得到不同的結論．

式中

參考文獻

［1］ 趙凱華，陳熙謀．新概念物理教程電磁學［M］．北京：高等教育出版社，2011．

［2］ 邱關源．電路［M］．5版．北京：高等教育出版社，2006：5．

［3］ 李天應．物理實驗［M］．武漢：華中科技大學出版社，1992：12．

THINKING OF THE 24THQUESTION IN THE SCIENCE INTEGRATED PAPER FOR THE UNIVERSITY ENTRANCE EXAMINATION OF BEIJING IN 2015

Hu Jichao
（The High School Affiliated to Renmin University of China，Beijing 100080）

AbstractThe physics paper of university entrance examination of Beijing in 2015is novel and combines theory with practice．The 24th problem is about the electro motive force and internal resistance of photocell，which is scarcely discussed in middle school teaching．The standard answer of the problem uses the volt－ampere characteristic curve of photocell to calculate its electromotive force and internal resistance．Concerning the solving method of the standard answer，this study discusses that the volt－ampere characteristic curves of photocell show difference if distributions of the initial kinetic energy of the escape photoelectrons are different when the photocell is illuminated by an incident ray．Thus，the volt－ampere characteristic curve of photocell can only be determined after knowing the distribution of the initial kinetic energy of the escape photoelectrons．Then the electro motive force and internal resistance of the photocell can further be calculated．The study also discusses which kind of distribution of the photoelectrons’initial kinetic energy can result in such a linear volt－ampere curve．

Key wordsuniversity entrance examination of Beijing in 2015；electrical source of photoelectric effect；electro motive force and internal resistance of photocell；relationship between distribution of the initial kinetic energy of photoelectrons in photocell and volt－ampere characteristic curve

作者簡介：胡繼超，男，中學物理高級教師，主要從事中學物理教學及高中物理競賽研究工作．hujichao＠rdfz．cn

收稿日期：2015－09－09