廣義坐標變換在普通物理學中的一些應用

李文略（嶺南師范學院基礎教育學院，廣東湛江 524037）

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廣義坐標變換在普通物理學中的一些應用

李文略
（嶺南師范學院基礎教育學院，廣東湛江 524037）

摘 要文章舉例闡述了廣義坐標變換在力學和電磁學中的一些應用．應用廣義極坐標變換和廣義球坐標變換計算線橢圓環、橢圓盤和橢球剛體對任意軸的轉動慣量；應用電多極展開的具體形式結合廣義坐標變換，計算均勻帶電線橢圓環、橢圓盤和橢球在遠場處的電勢．

關鍵詞廣義極坐標；廣義球坐標；轉動慣量；電多極勢；橢圓環；橢圓盤；橢球

圓、橢圓、球、橢球是我們經常遇到的幾何形體，在普通物理學中常常要處理與之相關的許多問題，而關于橢圓和橢球問題的處理往往是比較困難的．陳燊年［1］等應用廣義球坐標變換巧妙地計算了電各向異性介質中帶電橢球的電四極矩，受此啟發，本文應用廣義極坐標變換和廣義球坐標變換計算與橢圓或橢球形狀相關的物理模型的轉動慣量和電多極勢．

1 勻質線橢圓環、橢圓盤、橢球剛體的轉動慣量

主軸坐標系O－xyz的坐標原點均建立在橢圓環、橢圓盤或橢球的幾何中心處．設任意轉軸通過原點，轉軸在坐標系中的位置可以用方位角φ和極角θ來確定．在主軸坐標系中剛體的3個主轉動慣量為Jxx，Jyy，Jzz，慣量積為零．應用轉動慣量并矢式［2］可得剛體對任意轉軸的轉動慣量為

1．1 線橢圓環繞任意轉軸的轉動慣量

質量為m，線密度為λ，長、短半軸分別為a、b的勻質線橢圓放置在主軸坐標系O－xyz的O－ xy面上．在環面上取廣義極坐標為第二類完全橢圓積分，橢圓參數由轉動慣量的定義和垂直軸

定理，計算出

將式（2）代入式（1）中，得線橢圓對任意轉軸的轉動慣量

因線橢圓的周長L＝4aE（k），m＝4λaE（k），則式（3）也可改寫為

若令a＝b代入式（4），可得線圓環繞任意軸的轉動慣量為代入式（3）中亦能得到該結果．

1．2 橢圓盤繞任意轉軸的轉動慣量

質量為m，面密度為σ，長、短半軸分別為a、b的勻質橢圓盤放置在主軸坐標系O－xyz的O－ xy面上．在盤面上取廣義極坐標有和

由轉動慣量的定義和垂直軸定理，計算

所得結果與文獻［3］一致．將式（5）代入式（1）中，得橢圓盤對任意轉軸的轉動慣量

1．3 橢球剛體繞任意轉軸的轉動慣量

質量為m，密度為ρ，半軸分別為a、b、c（c≤b ≤a）的勻質橢球放置在主軸坐標系O－xyz中，橢球面方程為．取廣義球坐標有．故同理計算出：由轉動慣量的定義，計算

所得結果與文獻［3、4］一致．將式（7）代入式（1）中，得橢球對任意轉軸的轉動慣量cos2θ．

若令b＝c代入式（8），可得長旋轉橢球繞任意軸的轉動慣量為

若令a＝b代入式（8），可得扁旋轉橢球繞任意軸的轉動慣量為

若令a＝b＝c代入式（8），可得球體繞任意軸的轉動慣量為，這是熟悉的結果．

2 均勻帶電線橢圓環、橢圓盤、橢球的電多極勢

2．1 均勻帶電線橢圓環的電多極勢

帶電量為Q，線密度為λ，長、短半軸分別為a、b的均勻帶電線橢圓放置在坐標系O－x1x2x3的O－x1x2面上，應用電多極勢的具體形式求其在遠場點P（x1，x2，x3）處的電勢．在環面上取廣義極坐標與前文相同．因為x′3＝0，由電荷分布關于x1軸和x2軸對稱，可知φ（1）（r）＝0．計算出將這些關系代入式（10）中計算電四極項，并連同φ（0）（r）代入式（9）中，可得線橢圓環在遠場處的電勢為

若令a＝b，代入上式可得半徑為a的帶電圓環在遠場處的電勢

2．2 均勻帶電橢圓盤的電多極勢

帶電量為Q，面密度為σ，長、短半軸分別為

若令a＝b，代入上式可得半徑為a的帶電圓盤在遠場處的電勢

2．3 均勻帶電橢球的電多極勢

帶電量為Q，密度為ρ，半軸分別為a、b、c （c≤b≤a）的均勻帶電橢球放置在坐標系O－ x1x2x3中，橢球面方程為取廣義球坐標與前文相同．由電荷分布關于x1軸、x2軸和x3軸對稱，可知．計算出將這些關系代入

式（10）中計算電四極項，并連同φ（0）（r）代入式（9）中，可得橢球在遠場處的電勢為

若令a＝b，代入式（13）可得扁旋轉橢球遠場電勢

若令b＝c，代入式（13）可得長旋轉橢球遠場電勢為

式中：x3＝rcosθ．所得結果與文獻［5］應用球張量計算的結果一致．

若令a＝b＝c，代入式（13）可得半徑為a的帶電球在遠場處的電勢為這是所熟悉的結果．

3 結語

對于涉及以線橢圓環、橢圓盤和橢球為物理模型的一些普通物理學中的問題，應用廣義坐標變換無疑是解決這些問題的較為簡捷的數學方法，文中給出了求這些模型的轉動慣量和電多極勢的例子．將該方法引入課堂教學中，能有效地提升學生處理相關物理模型問題的數學能力．

參考文獻

［1］ 陳燊年，洪清泉，王建成．介質為各向異性的電磁場［M］．北京：科學出版社，2012：74、112－127．

［2］ 李文略．慣量張量并矢式及其應用［J］．河南教育學院學報：自然科學版，2014，23（4）：47－51．

［3］ 孫艷平，等．復雜橢圓形薄板和橢球體轉動慣量［J］．遼寧科技大學學報：2011，34（4）：352－354．

［4］ 劉紅．橢球殼及橢球體轉動慣量的簡易推導［J］．物理與工程，2012，22（4）：61－62．

［5］ 袁德榮．球張量的多極展開法［J］．湖北大學學報：自然科學

版，1988（1）：94－98．

審稿意見和作者修改說明摘錄：

原稿題目：計算一類均質薄板剛體轉動慣量的新方法

原稿評審意見：首先文中（2）和（3）所給的結果不是什么新結果，而是在幾乎任何理論物理教材中都會找得到的結果．當然作者采用自己的做法得到了它們還是值得稱道的．但在文中稱為“新”是不合適的，因為這只是對作者是新的，對那些了解后續分析力學課程結果的人卻是標準的教科書結果．再，從式（6）出發利用轉動對稱性計算轉動慣量，或電磁學中的電四極距，或極化介質的電場能等在大學物理課中早有論述，具體可見費曼著名的三冊書中的第二冊中的第31章，那里詳細講授了如何應用對稱性簡化計算這些量．即使這樣，本文所討論的具體例子2．1，2．2 和2．3還是與費曼的討論有所不同．本文是基于主軸坐標系的結果，利用轉動給出任意情形下的結果，雖然這略顯簡單和平庸；但這確如作者在文章最后所述“有助于加深學生對慣量張量的理解，并能拓寬學生計算剛體轉動慣量的數理思路”．本文只是所給的例子略顯單薄，應再多給幾個，并改進對此做法的提法．

作者修改說明：要充實文章例子并非易事……機緣巧合下拜讀了陳燊年教授等所著的《介質為各向異性的電磁場》，其中她巧妙地應用球坐標積分變換計算了各向異性介質中橢球的電多極矩，卻避免了橢圓積分運算，剛好專家的評審意見中的“電磁學中的電四極距”也浮現在腦海中．于是，產生了修改的靈感，也許這些都是有聯系的……

現有文獻計算橢圓、橢圓盤和橢球的計算方法大多需要用到特殊函數，既然球坐標積分變換可計算電多極矩，自然也可遷移計算轉動慣量，再結合原始稿件中求任意轉軸的轉動慣量的寫作初衷就得到了修改稿中的第一部分了．另外，電磁學中計算電多極勢，大多采用計算電多極矩再進行矢量或張量間的點乘運算，然而若能得到電多極展開的具體形式再結合廣義坐標變換的方法，則計算就簡便多了，于是就完成了文章的第二部分．

回想學生時期的我，遇到橢圓積分就感到頭疼，這也許也是我的學生現在煩惱的事吧．廣義積分的變化方法如果能應用于教學中，還是能成為學生的頭疼“緩解藥”的，當然橢圓積分還是要扎扎實實地學好．于是文章的題目就成了《廣義坐標變換在普通物理學中的一些應用》．文章的改動非常大，可以說是另一篇新的文章了；但是從修改的過程和寫作靈感的獲得來看，卻得益于專家的評審意見，可看作原始稿的延續吧．

SOME APPLICATIONS OF GENERALIZED COORDINATE TRANSFORMATION IN GENERAL PHYSICS

Li Wenlue
（College of Basic Education，Institute of Lingnan Normal University，Zhanjiang，Guangdong 524037）

AbstractSome applications of generalized coordinate transformation in mechanics and electro magnetism are described by examples．Generalized polar coordinate and spherical coordinate transformation are applied to calculate the moment of inertia of a linear elliptic ring，elliptic disc and ellipsoid rigid body to an arbitrary axis．The electric potential in the far field of uniform charged wire，elliptic disc，and ellipsoid body are calculated by applying the specific form of electric multipole expansion combined with the generalized coordinate transformation．

Key wordsgeneralized polar coordinates；generalized spherical coordinates；moment of inertia；electric multipole potential；ellipse ring；elliptical disc；ellipsoid

作者簡介：李文略，男，講師，主要從事基礎物理課程的教學與研究．physics2009ed＠126．com

收稿日期：2014－08－08