扭擺法測量轉動慣量實驗數據處理及誤差討論

潘小青 劉超飛 朱 云（江西理工大學理學院，江西贛州 341000）

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扭擺法測量轉動慣量實驗數據處理及誤差討論

潘小青 劉超飛 朱 云
（江西理工大學理學院，江西贛州 341000）

摘 要扭擺法測量轉動慣量是大學物理實驗中一個重要的項目．現行物理實驗教材中，其相對誤差分析通過對比轉動慣量理論值與實驗測量值得到，這種處理方式值得商榷．本文針對這一問題，采用不確定度計算，分別討論了轉動慣量的理論值與實驗值的不確定度公式，并比較了兩種轉動慣量計算結果的差別，分析其產生的可能原因．并提出了用線性擬合作圖法驗證平行軸定理的新思路，根據微擾理論提出了得到扭轉常數與擺幅相互關系的測量方案和減少誤差的處理途徑．最后用數值計算討論了同時考慮摩擦阻力和扭轉常數隨擺角變化對擺動周期的影響．

關鍵詞扭擺；轉動慣量；不確定度；數據處理；誤差

轉動慣量是表征物體轉動慣性大小的物理量，是研究、設計、控制物體轉動特性的重要技術參數．扭擺法測量轉動慣量是大學物理實驗中常見的實驗項目，這個實驗涉及基本物理量——質量、長度、時間的測量，同時包含轉換測量的實驗方法及數據處理方法，內容頗為豐富．大部分教材在實驗數據處理時都是用扭擺實驗測量出的轉動慣量值與用轉動慣量定義計算的所謂理論值比較進而計算相對誤差及驗證平行軸定理［1、2］，這種數據處理方式值得討論．

1 通用實驗教材中的實驗數據處理方法

1．1 轉動慣量計算

設K為彈簧的扭轉常數，I為物體繞轉軸的轉動慣量，忽略各種摩擦和阻力，可推出扭擺運動具有角諧振動的特性，此諧振動的周期為

若已知K，通過測量擺動周期T可得轉動慣量I

在轉軸上裝上對此軸的轉動慣量為I0的金屬載物圓盤，測出其擺動周期T0，再在載物圓盤上放置轉動慣量為I1的塑料圓柱體（圓柱體轉動慣量

進一步可分別得到圓柱體轉動慣量的所謂理論值和實驗值如表1［3］．

表1中分別考慮球支架轉動慣量給定實驗值I支，細桿夾具轉動慣量給定實驗值I夾．驗證平行軸定理時在細桿上套入滑塊，測出組合系統轉動慣量，下式中I5為兩個滑塊繞通過滑塊質心轉軸的轉動慣量，可通過定義式計算：其中m為其質量，D為其直徑），則系統總的轉動慣量為（I1＋I0），此時擺動周期為T1．推導得到彈簧的扭轉常數為

其中，m1，m2分別為兩滑塊質量；D內、D外分別為滑塊的內徑和外徑；L1為滑塊的長度．

表1　轉動慣量計算式

1．2 誤差計算與存在問題

實驗數據分析時，所有教材均采用理論值與實驗值比較計算相對誤差，以此作為評價實驗結果好壞的依據，下面分析這種方法的問題所在．

首先，本實驗中所謂的理論值實際只是按照轉動慣量定義通過測量規則物體的質量和幾何參量而計算出來的，它也是一個實驗測量值，只是所用方法不同而已，并不足以作為公認標準值．與用扭擺法測量的轉動慣量值相比，不能主觀地判定誰優誰劣，由此得出的所謂相對誤差并不能反映實驗結果的準確度．

其次，上述數據計算和誤差處理過程從頭至尾采用單一一種計算模式，數據量大，計算過程冗長，反反復復用同一公式計算，極易出錯，學生容易產生厭煩心理，而對本實驗所包含的實驗原理、思路、方法卻茫然，不利于培養學生實驗能力．

2 改進實驗數據處理方法

2．1 轉動慣量計算

考慮到系統扭轉常數是個中間量，不需要直接計算，而圓柱體按定義式測量出的轉動慣量是求解其他物體轉動慣量的基礎，將其他待測物體轉動慣量表示成對應擺動周期和圓柱質量、直徑的函數，無需中間計算環節，所得公式如下：

2．2 作圖法驗證平行軸定理

由平行軸定理，滑塊對稱置于細桿上距離轉軸

另外由公式（2）知系統轉動慣量與擺動周期

由式（4）可知只要在坐標紙上作T2－x2圖，對所測數據進行線性擬合，則可驗證平行軸定理．

2．3 實驗數據處理

本實驗數據測量的準確度主要由擺動周期、圓柱體質量和直徑3個量決定，結果的不確定度可推導出來［4，5］，對載物盤、球體、細桿系統，轉動慣量測量的不確定度為T的平方成正比，因而有

對圓筒轉動慣量測量的不確定度為

2．4 不確定度計算及作圖法處理實驗數據

根據一組實驗測量數據，按照上述方式進行數據處理，結果如表2所示．

對平行軸定理的驗證可有不同的方法［6］，現采用作圖法進行數據線性擬合，得到如圖1所示線性擬合圖形，并可由圖形得到擬合公式．由圖可知T2與x2成線性關系，說明平行軸定理成立．

表2　不同物體轉動慣量計算結果

圖1　T2－x2圖

3 結果討論

由計算結果可知，用轉動慣量理論式通過稱量質量和直徑得到的轉動慣量值較由扭擺實驗得出的值略大，理論計算法與扭擺法相比較附加效應少從理論上而言要更準確些．通過實驗顯示兩組數據的測量不確定度相近，并沒有哪一個更優．因而一些教材中將理論值作為標準來計算扭擺實驗測量結果的相對誤差值得商榷．采用作圖法來驗證轉動慣量的平行軸定理，避免了繁雜的數學計算，而且給學生練習一種數據處理的新方法，有助于開拓學生思路．

4 系統誤差

4．1 阻力的影響

在扭擺實驗中，理論上假定螺旋彈簧的扭轉系數為定值，且扭力矩與轉角成正比并忽略摩擦阻力，這些理想條件對實驗環境提出了較高要求，在學生實驗中不可避免會造成系統誤差［7］，下面分別對此作分析討論．

由于摩擦阻力的影響扭擺作阻尼振動，擺幅隨時間而減小，考慮黏性阻尼，系統作準周期運動，擺動周期為［8］可見如果考慮阻尼因素，扭擺周期比無阻尼時變長，但這時各待測物的轉動慣量計算式不變，因而結果的準確度主要由待測物、載物盤與標準物的質量有關．質量越大，由不確定度公式可知，相對不確定度更小．當然實際操作中由于待測物大小和形狀的不同，難于保持阻尼系數在實驗過程中不變，這也會引起附加的誤差．

4．2 扭轉常數和擺角的影響

有實驗研究表明［9］，螺旋彈簧的扭轉常數K與擺動幅度有關，在小于70°時變化較大，在90°～

式中β為阻尼系數．從而轉動慣量為150°范圍變化較小，由此要求在實驗中同一組數據盡量保持從同一角度開始偏轉．

在此，根據微擾理論［10］先提出一套可以測量扭轉常數K與擺動幅度測量相互關系的測量方案．用K（θ）來表示不同擺幅下的扭轉常數．當然，在這種情況下，測量的周期也與擺動幅度相關，用Ti（θ）表示．則式（3）可轉變為以下形式

這樣，需要選擇至少3個不同的角度，就可以很好地確定扭擺實驗中的扭擺常數與擺角的關系了．以最簡單的3組實驗數據為例，即選擇3個角度分別測量，有

所以，可以得到

所以，只需要選擇3個不同角度，分別測量載物圓盤與加載塑料圓柱的情況，就能得到扭擺實驗中的扭轉常數與擺角的二階關系．

在實驗測量中，為了減小誤差的出現，以及盡可能將實驗簡化，整個實驗的擺角如果固定，這時為一常數，同時，所測量的周期為這樣，擺幅對測量的影響就完全退化到表1中的測量公式可用的情況了．

若K隨著θ變化的情況為在不同的初始條件下，且K在同一個過程中都變化，則動力學方程如下：

為了簡便，我們只考慮一階項K（θ）＝K0（1＋αθ），理論分析就變得較為困難，我們進行了數值計算．如圖2所示，系統的周期基本不隨著α變化．

綜上所述，在小阻尼和大擺角的實驗條件下，扭擺周期受扭轉常數變化和擺角的影響較小，在基礎實驗階段可以不用過多考慮．

圖2　扭擺周期隨著α的變化規律

參考文獻

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［10］ 李先胤，孫增灼，繆勝清，等．理論物理學中的近似方法［M］．北京師范大學出版集團．合肥：安徽大學出版社，2011．

DISCUSSION ON EXPERIMENTAL DATA PROCESSING AND
E
RROR IN ROTATIONAL INERTIA MEASUREMENT BY METHOD OF TORSION PENDULUM

Pan Xiaoqing Liu Chaofei Zhu Yun
（Science School，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou，Jiangxi 341000）

AbstractThe application of torsion pendulum to measure the rotational inertia is an important project in college physics experiment．In most of current experimental instructor book，the relative error calculation is obtained by comparing the theoretical value of rotational inertia and the experimental data．This approach is questionable．In this paper，the formula of uncertainty of torsion pendulum is given to calculate the theoretical uncertainty and the experimental ones，respectively．Differences between the theorical results and experimental data are compared with the analysis of the possible reason．A new way to verify the parallel axis theorem is provided through graphing method of linear fitting．Meanwhile，a new method is promoted to obtain the relationship between the coefficient of torsional pendulum and the rotational angle amplitude based on the perturbation theory，which leads to the possibility of reduction of errors in experiments．At last，numerical calculations are given to discuss how the oscillating period is affected by the frictional resistance and the changing torsional coefficient with the pendulum angle at the same time．

Key wordstorsional pendulum；rotational inertia；uncertainty；data processing；error

作者簡介：潘小青，女，教授，主要從事大學物理和物理實驗教學，研究方向為計算物理．xqpan＠jxust．edu．cn

收稿日期：2015－08－06