建空間觀念促合情推理
——以《剪手拉手的四個小人》為例

江 瀾

2013人教版數學二年級下冊出現的《剪手拉手的四個小人》是修訂后的教材在解決問題方面關于“圖形與幾何”領域所作的又一突破——通過讓學生利用軸對稱圖形的知識解決剪出給定圖案的問題。在教學中，筆者確定了四次動手操作的時機，以建空間觀念，促合情推理為抓手，促進學生對本課的學習。

【課前“動”：清晰概念，鞏固“軸對稱”表象】

師：昨天老師布置你們在家剪一個軸對稱圖形（一棵樹）。你們剪成功了嗎？

作業中老師設置了幾個問題，請你們在組內交流一下。

1.為什么要把紙張對折？

2.要剪出一棵樹，為什么只要剪半棵就可以了？

3.圖案要畫在開口處，還是封口處（對折線上）,為什么？可以剪一剪，看看兩種情況有何不同。

組1：把紙張對折是為了找到對稱軸，保證剪出來的樹是對稱的。

組2：樹是對稱的，所以只要剪半棵，另一半是一樣的。

組3：圖案要畫在封口處，如果在開口處，剪出來就是分開的，沒有連在一起。

【設計說明：學生通過剪簡單的軸對稱圖形，以及對作業中問題的思考，對“軸對稱圖形”的認識再次深入，對如何剪出簡單的軸對稱圖形有更清晰的認知。】

【“第二動”:經歷推理，體悟“幾次”與“幾份”的關系】

師：看來大家昨天在剪小樹時都非常用心，不僅會剪還知道為什么這么剪，真棒！看看今天我們要挑戰什么！（課件出示：課本主題圖）

師：你知道了什么？

生：要剪出4個小人，而且要手拉手；每一個小人都是軸對稱圖形。

師：要剪出這樣的4個小人好像有點難，你們打算怎么解決？

生：先剪2個小人試一試。

師：是啊，我們可以從2個小人研究起，由易到難。剪一個小人需把紙張對折一次，那剪兩個小人你們覺得要對折幾次？

生：兩次！

師：用什么辦法驗證呢？

生：折折看。

師：請你們用紙張折一折，再打開紙張看一看、想一想，為什么？

（學生動手操作后，發現確實是對折兩次）

師：能說說為什么嗎？

生：剪一個小人，紙張對折一次，把紙張平均分成了兩份。我把紙張對折兩次，打開后發現紙張被平均分成了四份，四個半人合起來就是兩個小人。

師：那如果對折三次，你們覺得可以剪出幾個小人？

（學生有的說三個，有的說是四個）

師：如何驗證？

生：再折折看。

師：好，開始吧?。ㄓ昧硗庖粡埣垼?/p>

生：對折三次是剪出四個小人，因為紙張被平均分成了八份！

師：觀察板書，你們有什么發現？

生：多對折一次，紙張平均分的份數就翻倍。剪出的人數也會翻倍。

（由于二年級未學習“倍”，故需教師的引導才能說出以上結論）

師：那么對折四次呢？

生：紙張平均分成16份，剪出8個小人！

【設計說明：根據對板書的觀察，引導學生通過合情推理，體悟到對折幾次與均分幾份、得到幾個小人三者之間的聯系——即每增加對折一次，紙張均分的份數翻倍，能剪出的小人圖案數也隨之翻倍。引深思考對折四次、五次的情況。此時，學生已無需再動手驗證，便能通過合情推理所得的結論得到答案?！?/p>

【“第三動”：暴露盲點，找到隱蔽的關鍵點】

師：現在請你們動手剪出手拉手的2個小人。

學生動手操作，教師巡視，收集正例和錯例。

交流時，教師展示錯例作品：

師：看，這件作品沒有成功。為什么會失敗呢？老師手上也有件成功的作品，我把它們都還原成剪之前的樣子。（展示時連同剪下的紙張部分一起呈現“場景還原”的效果，見下圖）：

師：仔細觀察，你們發現了兩種剪法的不同點在哪里？

生：失敗的那個沒有把小人的手畫到紙張邊緣，成功的那個有！

（教師打開兩個作品“廢紙”部分，讓學生進行觀察：沒有把小人的手畫在邊緣處為什么會失?。?/p>

生：小人的手沒有畫到邊緣，剪下后會斷開。

師：看來我們要保證剪下來的2個小人是手拉手的，必須要？

生：把小人的手畫到邊緣！

師：請剛才沒有剪成功的小朋友再嘗試一下。

【設計說明：此次動手操作充分暴露學生的思維盲點，學生疑惑重重，再引導學生觀察復原的兩件作品，思考這兩種剪法的不同點在哪里？學生很快就觀察到：失敗的作品沒有將圖案畫至紙張邊緣處。再打開兩個作品“廢紙”部分，讓學生進行觀察思考：為什么沒有把圖案畫在邊緣處會失敗？學生通過討論，明確了導致剪下來的2個小人沒有“手拉手”的原因。隨后，筆者又讓嘗試失敗的學生再次動手，給他們以糾錯、強化正確認知的機會。整個環節達到兩個目的：（1）讓學生充分暴露思維盲點，使學生產生強烈的認知需求。（2）利用錯例資源促進學生反思錯因，完善思維，引發學生逐步調整策略解決問題。】

【“第四動”：完整過程，獲得成功體驗】

師：現在我們來理一理思路，你們覺得怎樣能保證成功地剪出4個手拉手的小人？

生：要對折三次；小人的圖案要畫在紙張的封口那側；小人的手要畫到紙張邊緣。

師：你們思路很清晰，好，現在開始動手吧！

（學生進行操作，多數學生成功剪出作品，驚喜、興奮的心情溢于言表）

師：祝賀大家都成功剪出了4個小人，仔細觀察這4個小人，你還有什么發現？

生：是通過把1個小人平移得到4個小人的。

師：你們真厲害，平移的4個手拉手小人我們會剪了，想挑戰一下下面的圖嗎？（出示旋轉的手拉手的4個小人圖）

（學生進行拓展嘗試）

【設計說明：有了前面的三次動手操作，經過幾次的解決問題策略調整，學生在頭腦里已能清晰地對如何剪出手拉手的四個小人有明確的理解，突出了對幾個關鍵點的認知——對折三次，圖案要畫在對稱軸一側，且要畫至紙張邊緣處。學生對此了然于心，空間觀念搭建完善，此時，讓學生進行第四次動手操作，增大了成功的幾率。學生在數學課堂上獲得了成功體驗，達成了情感態度方面的教學目的。】

【教后思考】

《數學課程標準》（2011版）將“空間與圖形”改為“圖形與幾何”，調整后的“圖形與幾何”以發展學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心展開。修訂后的人教版教材關于“圖形與幾何”領域在解決問題方面突破了以往解決問題的例題多安排在“數與計算”領域的局限，使得培養學生的“四能”的素材和案例更為豐富，這一類課型通過讓學生利用圖形和幾何的知識解決相應的問題。如何在這類課型中處理好動手操作與有效思考兩者之間的關系，達到建空間觀念，促合情推理的目的呢？

一、在知識發生連接時進行動手操作

在新版教材里，很多“空間與幾何”領域的“解決問題”課型都需要一些已知知識作為基礎鋪墊，如本案例中的“剪手拉手的四個小人”。學生會剪簡單的軸對稱圖形，明白為什么這樣可以剪出軸對稱圖形，這便是與新知的連接處。再如，一年級下冊的《平面圖形的拼組》，學生對“拼組”的動作理解以及對各平面圖形的特征認知便是與新知的連接處，可以讓學生先進行動手操作：用同樣長的小棒拼出長方形。因此，需要教師通過解讀教學重難點，了解新知與舊知的連接點，考慮在課前階段讓學生進行相應的動手操作任務，教師還應抓住新知與舊知的連接點，設置一些回顧反思性的問題，引導學生更好地回顧舊知，做好承前啟后的思維蟄伏和心理準備，以促進新知的遷移。

二、在關鍵處的推理時進行動手操作

《課標》中對空間觀念的要求是：由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物形狀，進行幾何體與三視圖、展開圖之間的轉化。實際上，“圖形與幾何”問題解決過程中的關鍵處需要學生經歷包括觀察、想象、比較、猜測、推理、驗證的過程。低年級學生的思維處于具體形象思維階段，往往需要一定的具體直觀形象作支撐，單純的內隱思維活動可能會使他們處于停滯不前的狀態，此時正需搭建起抽象性的數學知識和形象性的學生思維之間的“橋梁”——動手操作活動，使學生邊“思”邊“動”，以“動”促“悟”。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。此時的動手操作就是為了提供進行合理推理所需的“事實”，如本課例中以動手操作輔助學生探尋對折“幾次”與均分“幾份”的關系，經歷“操作感知——形成表象——抽象概括”這一過程，使動手操作成為促進驗證推理，有效建構空間幾何表象的重要推手。

三、在思維盲區處進行動手操作

由于“空間與幾何”知識領域的特殊性，一些關鍵點較為隱蔽，無法明顯地發現。此時，教師的直接揭示無法給學生帶來強烈的認知沖擊，不動不明，學生永遠停留在“要我學”的被動地位，沒有認知需求，認知欲望不強，對知識的印記也無法深刻、具體、形象。如本案例中，教師若直接提醒畫小人時要畫至紙張的邊緣處才能保證四個小人手拉手，學生無法透徹理解，“不憤不啟，不悱不發”，此時的動手操作活動才能使學生產生強烈的認知沖突，激起主動的探究欲望。通過教師的引導，學生主動地通過自己的觀察尋找問題的原因，找到解決問題的關鍵，并逐步調整策略。在不斷的操作中領悟解決問題的方法，提高解決問題的能力，同時培養學生的發散思維與挑戰意識。在這暴露學生思維的動手操作活動中，學生經歷了“試誤—究因—調整策略”的解決問題過程，在數學基本活動經驗的積留中逐步建立了空間觀念，得到鮮明、清晰、正確的概念。

四、在脈絡清晰時進行動手操作

很多數學問題的解決，一下子由學生自主探索，難度較大，學生一次性成功的幾率很小。在學習難點、問題解決的關鍵點未清晰之前，貿然進行動手操作活動，會出現許多的學習難題，而這些問題由于現實因素并無法一一在課堂上給予擊破，這樣勢必造成課堂教學節奏拖沓、層次凌亂，教師手忙腳亂，學生高耗低能。在前文所述的恰當時機進行動手操作后，學生對知識的來龍去脈有了具體清晰的認識，空間觀念得到初步的構建，問題解決的難點也得到了明朗，一切脈絡清晰時便是最好的操作時機，此時操作水到渠成，學生有意識也有能力避開失誤的礁區，能順利地解決問題，獲得成功的體驗。

綜上所述，在“圖形與幾何”領域的問題解決中，學生動手操作的時機確定、決定了其學習是否有效，思維能力是否得到提升。因此，教師在研讀教材后，要站在學生認知的角度，思索、確定好學習難點、解決問題的關鍵點，對全課教學過程進行統籌規劃、整體部署，找準“動”機，使學生的空間觀念和合情推理能力在充分感知、操作體驗、解決問題的策略調整、實踐中逐步培養起來。