以《分數乘分數》為例談數感培養

田秋月 黃利群 盛玲燕 徐偉榮

“數感”是小學數學核心概念之一，2001年版《數學課程標準（實驗稿）》指出，數感主要表現在“理解數的意義，能用多種方法表示數，能在具體情境中把握數的相對大小，能用數來表達和交流信息，能為解決問題選擇適當的算法，能估計運算結果，并對結果的合理性做出解釋”。基于此，兩年來筆者所在教研團隊從五個維度在小學高段學生中開展了“數感”培養的實踐研究，這五個維度分別是：估算結果合理化、計算方法多樣化、算法解釋個性化、運算方式簡便化、計算結果準確化。現以《分數乘分數》一課教學為例，嘗試說明我們在實踐中的一些做法，以求教大家。

【教材分析】

《分數乘分數》位于浙教版新思維五年級下冊第二單元，主要內容包括分數單位相乘、幾分之幾乘幾分之幾的算法、算理及應用。計算教學都有著共同的特點，即要在理解算理的基礎上探索算法、歸納法則。分數乘分數的計算法則簡單說來有兩句話“分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母”、“過程中能約分的先約分”。從算理上看，分數的四則運算和整數的四則運算在本質上是一樣的，不同的是整數運算中，整數的基本單位是“1”，而分數的單位是多義的。分數乘分數的算理是分數的意義的運用，本質是產生了新的分數單位，如可理解為“把平均分成5份、取其中的1份，相當于把單位‘1’平均分成15份、取其中的1份，就是”。這兩個分數單位相乘得到新的分數單位可以看成××2×4，即（2×4）個，就等于。

【教學與反思】

我們從“數感”培養的五個維度來反思教學設計與實施過程，突出研究指向，聚焦學生在“數感”方面的表現。

一、估算結果合理化

逐一呈現下列圖形，整體部分快速閃現并消失，學生通過留存下來的涂色部分回憶、想象其各占整個圖形的幾分之幾。

【評析：“分數的意義”是本課開展學習活動的基礎，以游戲形式呈現的“涂色部分占整個圖形的幾分之幾”既增強了學習的趣味性，又起到了復習舊知的作用（為后續探究埋下“作圖分析”的伏筆）。“閃現”是為了達成快速估測的目的，數感水平一方面取決于估算值的精確度，另一方面也以估算反應的快慢來呈現。在接下來探索精確值之前，也請學生先估一下乘積的大小或取值范圍，不僅對運算方法的推導有幫助，也是對運算結果合理性的評估。】

二、計算方法多樣化及算法解釋個性化

方法一：方格圖均分法

將長方形紙看成單位“1”，把單位“1”平均分成5份，一份就是。

生：第一次平均分成5列，第二次平均分成2行，5列2行，5×2=10（份）。

師：怎么看出是10份？

生：第一次平均分成5列，第二次把每列再平均分成2列，5個2，就是10列。

方法二：線段圖均分法

師：還有別的畫法嗎？

生：題目要求平均分，后面4份也都要平均分成2份，從圖中知道的就是整個的。

方法三：圓形圖均分法

生：我是通過畫圓的方法，把5個圓形這個整體當成單位“1”，一個圓形就是，再將每個圓平均分成2份，一份就是整個的。

師：方法一、二、三都是畫圖，你有什么想說的？

生：畫的圖形不同——長方形、線段、圓形。

師：僅僅是圖形形狀上的區別嗎？

生：方法一和方法二是把一個長方形或線段當成單位“1”，而方法三是把5個圓形整體當成單位“1”。

師：說得很棒！這是不同之處，那它們有相同點嗎？

生：把方法一的豎著分的圖壓扁就成了方法二的線段，再把線段“養胖”就成了方法三的圓形。

師：分的過程中有什么相同之處嗎？

生：單位“1”先被平均分成5份，第二次被平均分成10份。

師：經過兩次平均分，什么發生了改變？

方法四：分數小數互化法（推導1）

師：誰來點評一下這種方法？

生：把新知識轉化成上個學期學過的小數乘法很方便，但有些分數不能化成有限小數。

師：根據分數與小數的關系來推導，你的聯系能力很強！那么，有適用于所有分數乘法的推導方法嗎？

方法五：分數與除法的關系推導法（推導2）

生：其實和方法四是相同的，只是方法四除出了小數的商，而這里只是用除式表示。

師：你們找到了分數與除法的關系，還在思考它們的相同點，太棒了！

方法六：積不變的性質化整法（推導3）

【評析：隨著“數感”課題研究的實施，學生的解題思路趨向多樣化、解決問題的策略更加靈活，這些方法不是憑空而出，都是在已有知識和經驗基礎上的拓展和延伸。方法多樣化不是簡單的羅列和重復，其過程也并非停留在形式上的多樣，而是基于不同理解所帶來的不同思路，學生在探求知識的發生、發展的過程中經歷著差異化的思維方式，為總結、概括出更有價值的、更普適性的、應對不同問題的最優化方法創造了可能。另外，即使是對同樣的算法也可能有著不同的理解和解釋，同樣是畫圖，也有數感水平的差異。教學中強調學生用自己的理解來表達自己的思考，為自己的算法尋找依據，這種個性化的算法解釋就是在用數來表達和交流信息，增強了數感體驗。】

三、運算方式簡便化

師：這么多方法看起來各不相同，但它們之間是否有相同之處？

生：畫圖和推導兩種方式都說明幾分之一乘幾分之一，分母相乘做分母，分子都是1。

師：從最后的結論上，我們都能看到這樣的相同點。為什么分母是10，分子是1呢？

師：是的，不管是圖示，還是推導，我們都能發現分母10是原來兩個分母相乘的積，分數的分數單位發生了變化。那分子呢？

生：分子也是原來兩個分子的積。

生：不好說，這里只能體現出來是1。

師：現在能總結一下分數乘分數的計算方法了嗎？

生：用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母。

生：我是用方法五分數和除法的關系進行推導的：

師：剛才研究分數單位相乘有六種方法，現在怎么只用推導的方法？

生：掌握了運算的法則，直接用最簡單。

【評析：運算方式簡便化是基于算理剖析之后對計算法則的概括和歸納。教師在引導學生比較算法的相同點時，說明不管是圖示還是推導，根據“分數的意義”都可以看出分數乘分數的本質是產生了新的分數單位，這個新分數的分母等于原來兩個分數的分母的乘積，進而，再推導出分子也等于原來兩個分數的分子的乘積。在此基礎上，引導概括出計算法則，讓學生覺得運用法則計算的簡便性，促進了算理和算法的對照、理解。】

四、計算結果正確性

1.填空題。

2.根據算理填空。

3.解決問題。

【評析：計算結果的正確性是課堂教學質量的直接檢驗，也是學生數感水平量化的直接顯現。通過學生現場反饋，這三題全班正確率 100%（共 36人），只有一位同學的結果未在過程中約分；全班都運用計算法則進行計算。】