數學探究式教學要把握“時機”*

●金惠忠　(金華市第六中學　浙江金華　321000)

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數學探究式教學要把握“時機”*

●金惠忠(金華市第六中學浙江金華321000)

摘要:與傳統教學模式相比，探究式教學模式在激發學生的學習興趣、體現學生在學習過程中的主體地位等方面有著不可比擬的優勢．但似乎也因此陷入一個怪圈，只重探究不重課堂效果．事實上，在探究式教學過程中“時機”的把握至關重要．

關鍵詞:數學;探究式教學;時機

基于“把課堂還給學生”的美好出發點，探究式教學在各地普遍展開．但似乎也因此陷入一個怪圈，教師往往為了探究而探究，不講究課堂教學的真實效果．筆者認為，在數學課堂教學中，探究教學的時機把握非常重要，不可一概而論．筆者結合教學實踐談談在探究式教學過程中“時機”的把握．

1　探究式教學前置——在預習中引入探究

傳統預習是指上課前對即將要學習的內容進行閱讀，預先了解課本或導學案內容［1］．這種直接看文本的做法，筆者認為有一些缺陷:1)降低了學生學習的興趣．由于事先已經閱讀了文本，學生對即將學習的新知識和相關數學結論已經了解，這樣在上課時，對教師精心設計的問題情境、知識和結論的探索過程就會失去興趣．2)降低了學生的思維深度和廣度．由于學生失去興趣，從而課上自主探究過程的參與程度就弱化了，學生只記住了相關結論，而在探究過程中需要培養的數學思維方法就得不到培養．

筆者認為將探究式教學前置，抓住預習這個時機引入探究，可以較好地解決傳統預習帶來的缺陷．這種預習就是在課前教師精心設計一個問題［2］，引導學生進行自主探究或者小組合作探究，進而引出新知識，達到預習的效果．具體操作模式如下:課前展示問題→課前學生探究→檢查預習報告→課上匯報展示→整理、歸納新知→知識應用．現以“二倍角公式”教學中將探究式教學前置操作過程為例進行說明．

1．1課前展示問題

案例1如圖1，四邊形ABCD是半徑為R的圓O的內接矩形，試探究四邊形ABCD面積的最大值．

1．2檢查、批閱預習報告

在課前，筆者檢查了學生自主探究的情況，全班85%的學生都進行了認真地探究，70%的學生結論正確，50%的學生采用了不少于一種方法探究，具有代表性的方法有4 種:

圖1

方法1設點A到BD的距離為h，則

由圓的相關幾何知識可知，hmax=R，故Smax=2R2．

方法2設AD=x，AB=y，則

由恒成立不等式可知

方法3設∠AOD=θ，θ∈(0，π)，則點A到BD的距離為Rsinθ，從而

故

1．3課堂展示匯報

筆者根據學生自主探究的情況，安排幾位學生將有代表性的解法進行展示與匯報，并進行有針對性的點評．

1．4歸納、總結，發展新知

1)在課堂上，引導學生關注方法3和方法4，方法3中的參數θ和方法4中的參數α之間有什么聯系?由此你發現了什么新的結論?此時大多數學生發現這樣一個結論:sin2α=2sinαcosα．

2)進一步探究:這個公式是否具有一般性，α可以取任意實數嗎?

3)再進一步探究:二倍角的余弦、正切又是怎樣的呢?從而順利引導學生學習新知——二倍角公式．

奧蘇伯爾曾經說過:“如果我必須把整個教育心理學歸納為一個原則的話，我會這樣說，影響學習的一個最重要因素是學習者已經了解了什么”［3］．學習者了解的知識將構成新知識的先行組織者，這種先行組織者將有助于學生將新知識與已有認知結構中相關的部分聯系起來，從而構建出新知識．探究式教學前置，在預習中引入探究，通過課前解決一個問題，激活學生已有認知結構中的先行組織者，為學習新知識作充足的準備．

將探究由課堂上現場操作移至課前，從而達到預習效果，這樣既培養了學生自主探究的能力，又節約了課堂時間，從而提高課堂效益．

2　探究式教學伺機而動——在核心內容生成處引入探究

新授課涉及的多是數學概念、定理、公式及性質等，對這些數學內容的教學，部分教師認為過程不重要，會用就可以了，基礎較差的學生甚至只要死記硬背就行．筆者認為對于基礎不好的學生，更要講清它們的來龍去脈，因為數學結論的證明中就蘊涵了一些重要的數學思想，為使學生的思維活動有效展開，對新授課上的核心內容生成時展開探究是很有必要的［4］，現以“點到直線的距離公式推導”的教學片斷為例．

案例2求點P(3，3)到直線l:2x+y－4=0的距離．

在探究式課堂教學中，學生產生了如下幾種方法．

方法1過點P作直線l的垂線，垂足為Q，通過直線l與直線PQ得到交點Q的坐標，利用兩點間距離公式可計算PQ．

方法2如圖2，過點P作x軸的平行線PR交直線l于點R，作y軸的平行線PS交直線l于點S．在△PRS中，由PQ，即可得到PQ．

圖2

方法3想到“點P到直線l的距離PQ的本質，就是點P到直線l上任意一點Q'之間距離的最小值”．因此可設Q'(x0，y0)為直線l上任意一點，則

方法1是將點線距離轉化為兩點間的距離，方法2是將“斜距離”轉化為“橫線段、豎線段”，方法1和方法2都體現了數學的轉化思想．方法3是將幾何問題轉化為代數問題，將問題轉化為求函數最值問題，體現了解析幾何的思想方法．

有了上述過程的體驗和鋪墊，學生的認識由特殊向一般轉化，進而求點P(x0，y0)到直線Ax+ By+C=0的距離就水到渠成．新授課時，對涉及到數學概念、定理、公式及性質等數學核心內容的生成部分，利用課堂中的一部分時間進行局部探究，使學生認清知識的來龍去脈，重建學生的知識體系，將探究式教學和教師講授教學有機結合，將獲得課堂效益最大化．

3　探究式教學以點帶面——在學生易錯點引入探究

數學解題中的錯誤與數學學習隨處相伴，只要有數學學習，就會出錯．在習題課中，基于學生錯誤的典型性，以及學生對問題解決的強烈愿望，在小組討論探究的基礎上，由教師進行點評，提煉通性通法．現以“數列的定義和性質習題課”的教學片斷為例進行說明．

案例3已知數列{an}的通項公式為an= n2+λn，且{an}為遞增數列，則實數λ的取值范圍是()．

通過查閱、批改學生的作業了解到學生在本題求解時，有3種典型方法:

學生方法1設函數f(x)=x2+λx，顯然f(x)在上是增函數．由{an}為遞增數列可知，從而λ≥－2．故選A．

學生方法2設函數f(x)=x2+λx，由{an}為遞增數列可知，f'(x)=2x+λ≥0在x∈N*上恒成立，只需f'(1)=2+λ≥0，得λ≥－2．故選A．

學生方法3由于{an}為遞增數列，故an＜an+1在n∈N*上恒成立，即

化簡得2n+1+λ＞0在n∈N*上恒成立，因此λ＞－(2n+1)max，即λ＞－3．故選B．

在習題課上教師拋出這樣3種學生解題時的典型思路，學生就開始小聲議論，因為大家認為這3種方法似乎都顯得無懈可擊．那為何又會出現不同的結果呢?思維的火花已經點燃，探究的氣氛已經生成．這時引導學生分組合作、討論探究，由于問題是學生引起的，學生解決問題的意愿較為強烈，討論的氣氛異常熱烈．

最后小組代表給出意見:事實上，要使數列{an}為遞增數列，只要求滿足不等式a1＜a2＜a3＜…＜an＜…．結合二次函數的圖像，an=n2+λn為一系列離散的點，那么只需其對稱軸在直線的左邊，從而，得λ＞－3．

在給予充分肯定之后，教師作適當點評:方法1和方法2的錯誤在筆者考慮到數列是特殊的函數，而沒有考慮這2者之間的區別，忽視了數列的離散性特征．由于數列{an}的定義域為正整數集(或子集)，故其圖像是一系列離散點．

為了解決學生在易錯易混淆處出現的問題，在學生探究的過程中，充分暴露思維上的錯誤和瑕疵，及時點撥，給他們充分思考的空間和機會［5］．教師在整個過程中更多承擔的是引導者和啟發者的角色，而課堂的主動權已交給了學生．基于這樣一些“美麗的錯誤”，在習題課的教學中適時展開探究顯得尤為重要，從學生的視角出發，讓學生體驗探究的樂趣，從而給課堂帶來了傳統習題課所沒有的生命力．

探究式教學的優勢是傳統教學方式所不可比擬的，但它并不是所有內容都適用．這就要求教師首先要分析教學內容是否需要引入探究教學，假如通過探究教學確實有助于學生理解數學的本質，那么教師就要精心設計，把握好引入探究教學的時機，從而將數學課堂成為學生主動從事數學活動、構建自己有效數學理解的場所．同時要做好探究式教學和其他教學形式的整合，以期真正提高數學課堂的質量，煥發數學課堂新的生命力．

參考文獻

［1］蔡國琦．高中數學課前預習優化策略探究［J］．語數外學習(數學教育)，2012(10):4．

［2］燕學敏．問題意識:數學課堂有效教學的關鍵［J］．數學通報，2010(3):20-23．

［3］奧蘇伯爾．教育心理學——認知觀點［M］．北京:人民教育出版社，1994．

［4］方志平．高中數學探究式教學問題創設的探究［J］．高中數學教學參考:上旬，2013(12): 12-14．

［5］王開林．解題教學活動應注重培養學生的數學思維品質［J］．數學教學研究，2015(12): 17-21．

作者簡介:金惠忠(1981－)，男，浙江金華人，中學一級教師，研究方向:數學教育．

修訂日期:*收文日期:2015-12-31;2016-01-20．

中圖分類號:O12

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-07-03