一次“圖形性質探究課”的實踐與思考——以“線段的垂直平分線的性質”教學為例

☉江蘇省南京市第三十九中學　夏　鳴

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一次“圖形性質探究課”的實踐與思考——以“線段的垂直平分線的性質”教學為例

☉江蘇省南京市第三十九中學夏鳴

在一次市級培訓活動中筆者開設了蘇科版《義務教育教科書·數學》八年級上冊“線段、角的軸對稱性（1）”公開課.本節課的重點是探究并證明線段的垂直平分線的性質定理.下面呈現關于這部分教學內容的學習、探究、思考歷程，期待能帶給大家啟示.

一、課前的教學分析

對于這部分內容，教材提供了如下探究內容：

如圖1，線段AB的垂直平分線l交AB于點O，點P在l上.PA與PB相等嗎？

圖1

在教學中，多數教師會按照“（度量或折疊）發現結論→猜想性質→證明→應用”的主線進行教學.但這一過程中學生的實質性思考并不充分，關鍵是缺少“從哪里開始探究性質”、“從哪些角度探究性質”等問題的引導.這樣的“探究”活動只能使學生關注數學結果，未能使學生經歷數學結果的形成過程，更無法使學生在掌握知識的過程中學會思考，有“假探究”之嫌.那么，我們應該怎樣設計這部分內容的探究活動呢？需要先思考以下幾個問題：

1.探究圖形性質就是要探究什么

探究圖形的性質是指探究確定圖形要素所具有的共同特征.例如，探究三角形的性質是指探究三角形的邊和角所具有的共同特征；探究全等三角形的性質是指探究其對應邊、對應角、對應特殊線段（高線、中線、角平分線）的共同特征.本節課探究的圖形是線段的垂直平分線，確定線段垂直平分線的要素是線段垂直平分線上的點，那么探究性質就是要探究這些點的共同特征.因此，線段垂直平分線的性質定理也可以看成是線段垂直平分線上點的性質定理.

2.探究圖形性質的起點在哪里

從數學內容結構上看，“概念、性質、判定、應用”是探究平面圖形的四個方面.概念是整個探究的始端，也是基礎，更是探究圖形性質、判定的“基石”.從學生認知水平上看，學生已經了解線段垂直平分線的概念，知道線段垂直平分線的特征，即OA=OB，l⊥AB（如圖1）.這些特征不僅是后續證明性質定理的重要依據，而且是探究性質的入手點和生長點.教學中，我們應該利用“概念”（點O的特征）啟發學生思考直線l上各點的共同特征，引導學生通過觀察、猜想、證明等活動探究性質.

3.如何證明這個性質定理

對于這個性質定理的證明，我們常常會直接通過圖1中兩個直角三角形全等進行證明.但這種證明方法不夠準確，也沒能揭示該定理的數學本質.這個性質定理是指線段垂直平分線上所有的點（無限個點）到線段兩端點的距離相等.當探究對象的個數是無限個時，我們可以用枚舉歸納法將“無限個”轉化成“有限個”（分類）進行證明.不難發現，除點O外其他各點處總有圖1中兩個直角三角形全等，而在點O處這兩個直角三角形并不存在.因此，證明該定理時需要分成兩種情況進行討論，只用全等三角形進行證明是不全面的.

4.探究活動應在哪里結束

學完性質定理后，我們的探究活動應該結束嗎？答案是否定的.因為線段垂直平分線的性質定理描述的是線上的點具有的數量關系.這反映了位置關系與數量關系之間的聯系.就圖1中點的位置而言，既有直線l上的點，也有直線l外的點.教學時，我們需要進一步啟發學生思考直線l外的點具有的數量關系，幫助學生完善探究圖形之間位置關系的學習路徑.另外，在教學過程中，我們可以引導學生思考學習圖形的概念、性質后，還需要學習什么，怎樣學習等問題，傳遞探究圖形的基本套路（即探究圖形的概念、性質、判定及應用）.

二、課中的教學實錄

環節1：回顧概念，明確探究方向

教師：根據前面的學習，請說出線段的垂直平分線的概念.

學生1：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

教師：學習全等三角形時，我們學習了全等三角形的概念、性質、判定及應用.通過類比，你覺得學習線段的垂直平分線的概念之后，還會探究它的什么內容？

學生2：學習它的性質、判定、應用.

教師：很好.你認為探究線段的垂直平分線的性質就是要探究什么？

（學生不知如何回答）

教師（追問）：全等三角形有哪些性質，都探究了哪些方面？

學生3：全等三角形的對應邊相等、對應角相等.探究了邊、角之間的關系.

教師（追問）：全等三角形的性質是其主要元素（邊、角）等方面的共同特征，那么對于線段的垂直平分線（一條直線）而言，它的主要元素是什么？探究它的性質就是要探究什么？

學生4：線段的垂直平分線的主要元素是點，探究它的性質應該是要探究這些點的共同特征.

環節2：立足起點，探究圖形性質

教師：如圖2，線段AB的垂直平分線l上有無數個點，你認為從哪個點開始探究？

學生5：我認為可以先探究點O的特征.

圖2

教師：為什么先探究點O.

學生5：因為它比較特殊，它是線段AB與直線l的交點.教師：點O具有什么特征？為什么？

學生5：根據線段的垂直平分線的概念可以知道OA=OB.

教師：探究過特殊點O的特征后，接下來需要探究什么？

學生6：還要探究其他點的特征.

教師：這些點有無數個，你準備怎么探究？

學生6：可以任取一個點試一試.

教師：如圖2，點P是線段AB的垂直平分線l上一點，點P有什么特征？請大家試一試.

（學生獨立思考3～5分鐘后交流）

學生7：如圖1，連接AP、BP，有AP=BP成立.

教師：為什么？

學生7：如圖1，因為OA=OB，∠AOP=∠BOP，OP= OP，所以△POA≌△POB，所以PA=PB.

教師：很好.其余的點有類似特征嗎？

學生（眾）：有.

教師：既然直線l上有無數個點，那么只取一個點P進行證明，能代表其他所有的點嗎？為什么？

學生8：可以，因為不管在l上取哪個點，總有OA=OB、∠AOP=∠BOP、OP=OP成立，所以總有△POA≌△POB，因此PA=PB一定成立.

教師：雖然直線l上有無數個點，但是這些點滿足的條件沒有變，所以結論一定成立.在變化的過程中存在著不變，同學們是否感受到數學的魅力呢.

環節3：概括定理，理清證明思路

教師：我們把這個結論稱為線段的垂直平分線的性質定理，你能用一句話概括下嗎？

學生9：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.

教師：通過前面的探究，想一想如何證明這個定理呢？

學生10：可以在直線l上取一點P，證明△POA≌△POB，就能得出PA=PB.

教師：大家同意嗎？誰有不同意見？

（絕大多數學生表示同意，教師追問）

教師：對于直線l上每一個點的特征，都能用這兩個直角三角形全等進行證明嗎？

學生11：不行，當在直線l上取點O時，不存在這兩個直角三角形，就不能用全等直角三角形證明.

教師：你很細心，那么怎樣證明呢？

學生11：需要分不同的情況進行證明，一是當在直線l上取點O時，根據概念直接得出OA=OB；二是當在直線l上取不是點O的點時，根據全等直角三角形進行證明.

教師：很好.這樣我們將“無限個點”的特征轉化成“有限個點”的特征來證明，這種證明方法稱為枚舉歸納法.今后我們還會用這種方法解決新的問題.

環節4：由內到外，完善探究路徑

教師：探究過線段的垂直平分線上的點后，你還想探究什么？你準備怎么探究？

（學生回答困難，教師追問）

教師：剛才探究了直線l上所有的點的特征，那么在這個平面內，除直線l上的點外，還有其他的點嗎？你覺得還可以探究什么？

學生12：還可以探究直線l外的點的特征.

教師：請大家試一試.

（學生獨立思考6分鐘左右后交流）

學生13：如圖3，在直線l外取一點P，連接AP、BP、QB，因為點Q是線段AB的垂直平分線上的點，所以AQ=BQ，所以PA=AQ+PQ=BQ+PQ＞PB.

圖3

圖4

圖5

圖6

教師：很棒，有不同想法的嗎？

學生14：我畫的圖（如圖4）與學生13的不同，得出的結論是PA＜PB，但證明方法類似.

教師：好，還有不同的做法嗎？

（學生繼續展示圖5、圖6，并推出正確結論）

教師：通過上面的探究，大家又有什么發現？

學生15：線段垂直平分線外的點到線段兩端點的距離不相等.

教師：這個結論如何證明呢？

學生16：可以分為圖3～圖6四種情況進行證明.

教師：根據PA與PB的數量關系，這四種情況哪些可以合并？

學生17：在圖3、圖6情況下，都有PA＞PB，它們可以合并.在圖4、圖5情況下，都有PA＜PB，它們也可以合并.

教師：很好，你們現在覺得如何分類？

學生18：可以分為兩種情況，一是當點P位于直線l的右側時，可以推出PA＞PB；二是當點P位于直線l的左側時，可以推出PA＜PB.

教師：當點P位于直線l的右側時一定是圖3或圖6的情況嗎？有無其他情況？

學生19：有，點P在線段OB上（如圖7），或點P在線段AB的延長線上（如圖8）.

圖7

圖8

圖9

圖10

教師：PA＞PB還成立嗎？如何證明？

學生19：成立，當點P在線段AB的延長線上時，AP= AB+BP＞BP；當點P在線段AB上時，AP=OA+OP=OB+OP= OP+BP+OP=2OP+BP＞BP.

教師：真棒！當點P位于直線l的左側時呢？

學生20：與前面類似，有點P在線段OA上（如圖9），或點P在線段AB的反向延長線上（如圖10）的情況，這時PA＜PB也是成立的.

教師：恩，這樣我們才把這個問題討論清楚.

……

環節5：課堂小結，傳遞基本套路

教師：學完線段的垂直平分線的概念與性質定理后，你還想學習什么內容？

學生21：學習線段的垂直平分線的判定定理.

教師：你能猜出線段的垂直平分線上點的判定定理嗎？

學生22：我覺得可以將今天學習的性質定理“反過來”，也就是到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上.

教師：你認為研究的路徑應該是怎樣的？可以從哪里開始研究？

學生23：還是可以先研究AB的中點，再研究其余的點.

教師：不錯，有興趣的同學可以課后繼續研究，這也是下節課的學習內容.

三、課后的教學反思

1.立足探究起點，設計有效活動

在學習某一數學對象時，該對象的概念既是學習的起點，也是學習的基礎.對于圖形性質的學習也不例外.在本節課中，我們以線段垂直平分線的概念為探究起點，按照“特殊點（O）→線上取一點（P）→線上每一點→線外的點”的主線設計探究活動，引導學生通過觀察、類比、猜想、證明等活動，自主探究直線l上各點的共同特征，歸納出性質定理，使學生經歷探究一個數學對象的完整過程，在掌握知識的過程中學會思考.

2.滲透思想方法，強化推理能力

在初中幾何教學中，我們應該始終滲透探究幾何圖形的基本思想和方法，重視對學生推理論證能力的培養.在探究線段垂直平分線的性質之前，我們提示學生：全等三角形的性質描述的是其對應邊、對應角所具有的共同特征，那么探究線段垂直平分線的性質就是探究什么內容，你準備怎么探究.通過對這些本源性問題的思考，學生更容易理解性質、掌握性質.在教學性質定理時，我們啟發學生思考：線段AB的垂直平分線l上有無數個點，只取一個點P進行證明，能代表其他所有的點嗎？你會怎樣證明這個性質定理？在解決這些問題時，學生用不變看待變化，用有限代替無限，用已知探究新知，體會分類、化歸、特殊到一般等數學思想方法，提升自身的推理論證能力.

3.傳遞基本套路，積累活動經驗

《義務教育課程標準·數學》（2011年版）指出：“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，引導學生感受數學的整體性.”在教學過程中，我們先幫助學生回憶線段垂直平分線的概念，再從概念出發，探究其性質，并啟發學生將性質“反過來”思考其判定.這樣的教學是有意向學生傳遞探究平面圖形的“基本套路”，幫助學生獲得數學基本活動經驗，體現數學的整體性.

參考文獻：

1.章建躍.如何實現“思維的教學”——以“平面圖形的旋轉”的教學為例［J］.中學數學教學參考（中），2015（4）.

2.卜以樓.基于“三個理解”下“圓周角”的教學預設［J］.中學數學（下），2013（11）.