基于“發現”的導引式合作學習——以魯教版“反比例函數的圖像與性質”為例

☉山東省萊蕪市雪野旅游區雪野中心中學　錢加坤

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基于“發現”的導引式合作學習——以魯教版“反比例函數的圖像與性質”為例

☉山東省萊蕪市雪野旅游區雪野中心中學錢加坤

一、背景介紹

布魯納發現學習論是時下非常流行的課堂教學的指導法則，它強調學生自主發現、獨立思考，從而獨立掌握數學原理和數學知識.通過“發現”來開發學生的智慧和潛能，進而為牢固掌握知識服務，也有利于學生形成創新技能.前不久，筆者正是在這一理論的指導下，獨立開展了“反比例函數的圖像與性質”的教學與研究，現將本節課的課例進行呈現，同大家分享與交流.

二、課例分析

本節課是魯教版數學八年級下冊第一節反比例函數的內容，本節分為三課時，這是第二課時的新授課.是在學生已經經歷了一次函數的研究過程的基礎上，在得到反比例函數的概念之后，進一步研究反比例函數的圖像，并通過圖像的研究和分析，來確定反比例函數的性質.教學中，首先，通過比較直觀的方法引導學生進行描點法作圖，勾勒出反比例函數的圖像；然后，分類觀察圖像，體現“分類”的思想，首先研究k>0的情況，從特殊k= 4，k=6，k=8，k=12的圖像觀察，進而推廣到一般，得出k>0時的反比例函數的圖像的特征及反比例函數的特性，體現“從特殊到一般”的思想，然后教師再引導學生從解析式的角度分析圖像特征，在整個教學過程中始終貫穿由“數”到“形”再由“形”到“數”的相互轉化，讓學生體會“數形結合”的數學思想和反比例函數的本質屬性所在，對于k<0的研究，完全類比k>0的研究過程，體現“類比”的思想.

三、教學過程

1.創設情境

多媒體課件展示華羅庚先生的關于“數形結合”的一首詞.

設計意圖：采用名人名言欣賞的方式進行情景引入，不僅調動了學生的積極性，同時又緊扣主題，為本節課的學習進行了方法上的準備.

2.知識鏈接

（1）已經學習了哪些函數？一次函數有哪些性質，正比例函數呢，它們的圖像如何？

（2）反比例函數的定義是什么？描點法畫圖像的步驟是什么？

師：了解了反比例函數的解析式，也就是從“數”的角度了解了反比例函數，那么對應的反比例函數的“形”的方面，也就是圖像是什么呢？函數性質又是怎樣的呢？

設計意圖：通過對前面知識的復習和回憶，尤其是正比例函數的研究方法，指導學生發現反比例函數作圖的方法，并能夠用描點法進行作圖，提問的同時，明確學習目標.

3.發現探究（分5個環節完成）

（1）試一試：學生獨立畫出的圖像.

（2）議一議：小組討論所畫作品，選出他們認為畫的最好的作品.

（3）看一看：展示學生選出的作品，進行問題分析.然后教師示范正確畫圖過程.

（4）說一說：同桌互說一遍畫圖像時的注意事項，并修訂已畫圖像.

設計意圖：首先讓學生獨立畫圖，充分暴露學生存在的問題，關注畫圖的基本步驟及每個細節的處理，培養學生畫圖能力，通過再次畫圖，使學生及時鞏固已獲得的作圖經驗，并且為后面歸納性質增加感性認識.

4.探究性質

學生活動：主要由學生觀察發現，教師適時引導.

共同特征：它們都由兩條曲線組成.反比例函數的圖像屬于雙曲線；隨著x的不斷增大（或減小），雙曲線向坐標軸無限接近.

不同特點：位置不同，增減性不同.

教師追問：這些不同特點是由什么因素決定的？

生：k的正負.

設計意圖：培養學生的觀察能力，讓學生體會分類的必要性.

探究2：利用幾何畫板準確作出k=4，k=8，k=12時的三個反比例函數圖像（如圖2～圖4）.觀察這一系列函數圖像，思考下列問題：

（1）圖像形狀是什么？

（2）圖像位于哪幾個象限？

（3）在每個象限內，y隨x的變化如何變化？

圖1

圖2

圖3

圖4

學生活動：先由學生獨立思考，然后小組討論交流，小組代表發言，其他同學補充或質疑.

教師（板書）：形狀：雙曲線；位置：一三象限；增減性：在每個象限內，y隨x的增大而減小.

教師追問：哪位同學能從解析式的角度解釋第二個和第三個問題？

教師設問：第三個問題，如果去掉在每個象限內這個條件，y隨x的變化情況還一致嗎？為什么？

學生活動：學生嘗試解釋，教師及時點撥，并利用幾何畫板直觀演示.

師：把剛才所研究的問題推廣到一般，就得到了k>0時函數的圖像和性質.

設計意圖：使學生經歷由特殊到一般的過程，體驗知識的產生形成過程；教師追問引導學生從“數”、“形”兩方面解決問題，讓學生體會數形結合的思想.

圖5

圖6

圖7

圖8

學生活動：學生發言.

教師（板書）：形狀：雙曲線；位置：二、四象限；增減性：在每個象限內，y隨x的增大而增大.

設計意圖：讓學生自己去觀察、類比、發現的方式獲得知識，培養學生積極參與的意識和自主探索的能力.

（2）當k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小.

（3）當k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大.

設計意圖：培養學生的分類討論意識和歸納概括能力.

學生活動：學生觀察發現，教師動畫演示.

師：同學們能再從解析式上分析一下它們的對稱關系嗎？

結論：當k互為相反數時，此時表示的反比例函數圖像既關于x軸對稱，同時也關于y軸對稱.

設計意圖：培養學生的觀察能力，以及讓學生感知反比例函數圖像的對稱性和數學美.

5.課堂小結

師：這節課你有什么收獲？有什么疑惑？

學生活動：學生發言交流自己的收獲，其他同學補充.

師：回顧反比例函數的學習過程，我們首先學習了反比例函數的解析式，以解析式為基礎，運用數形結合的思想，畫出了函數的圖像，進而研究函數的性質，體現了分類討論的方法，這其實就是我們研究函數的一般方法.

師：同學們，有關反比例函數的知識，經過我們的整理，形成了一棵知識樹，像這樣讓知識體系化，是我們學習數學的一種很好的方法，如果對已掌握的每一個知識點，同學們都能進行這樣的梳理，那么你就會收獲一片知識的森林.

四、教后反思

1.發現，培養學生形成良好學習品質

從本課的思維流程來看，體現了“發現”的本質.上課一開始，通過華羅庚的名言引入，在調動學生的積極性的同時，緊扣了上課的主題，對用描點法作圖做了有效的鋪墊.在函數圖像作圖時，學生經歷了獨立觀察、策略采用、小組交流、合作展示、問題剖析、修改訂正等一系列的過程，直接獲得了許多通過作圖研究函數圖像的經驗，同時從函數圖像中學會了發現函數性質的方法.同時，這些活動是學生全員參與的，并且學生都很投入，使學生的課堂主體地位得到很好地落實.在探究性質時，恰當借助多媒體的輔助作用，突出了重點，化解了難點.一是利用幾何畫板生成了一系列k>0和k<0的反比例函數圖像，分析“在每個象限，函數的增減性”；二是動畫演示兩種反比例函數的對稱關系.

2.導引，提升教師有效教學行為

新課標中，對教師的教學行為也進行了規定，“課程基本理念”中指出：“課程的內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法.”筆者設計的這節課很好地體現了這一理念.從整體上來看，本節課的兩條主線比較明確，即所謂的明暗兩條主線，明線是通性通法，也就是研究函數的一般方法，這是以解析式為基礎的，用描點法畫出函數圖像，然后分析圖像找到性質和規律，再根據圖像觀察規律，推理驗證規律，從而得到函數的性質.暗線是所蘊含的思想方法，比如類比思想，分類討論的方法，特別是數形結合的思想始終融合在一起.可見，當發現成為一種習慣的時候，教師的教學能力和水平也在潛移默化中得到了巨大的提升.

3.合作，發現課堂新的增長點

在這節課中，多媒體不再是移動的黑板，真正起到了直觀、高效的作用.最后在學生暢談本節課的收獲總結后，筆者又與學生一起以美麗的知識樹的形式再現了本節課的學習內容及蘊含的思想方法，并進一步對學生進行了學習方法的指導.在這樣的課堂中，教師的講授是有限的，學生的發現促成了課堂的再生成.讓學生在思維的過程中，不斷體會到學習新知的樂趣，形成思維的火花碰撞，從而促使了課堂新的增長點的不斷延伸和發展.